Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và ${O}',$ bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm ${O}',$ lấy điểm B. Đặt $\alpha $ là góc giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện $O{O}'AB$ đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\tan \alpha =\sqrt{2}.$
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
C. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}.$
D. $\tan \alpha =1.$
Kẻ đường sinh $A{A}',$ gọi D là điểm đối xứng ${A}'$ qua tâm ${O}'.$ Kẻ BH vuông góc với ${A}'D$
$\Rightarrow BH\bot \left( AO{O}'{A}' \right)\Rightarrow {{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{1}{3}.BH.{{S}_{\!\!\Delta\!\!O{O}'A}}.$
Mà ${{S}_{\!\!\Delta\!\!O{O}'A}}=\dfrac{1}{2}.O{O}'.OA=2{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}\times BH.$
Để ${{V}_{O{O}'AB}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow BH=B{O}'\left( H\equiv {O}' \right)\Rightarrow {A}'B=2a\sqrt{2}.$
Tam giác $A{A}'B$ vuông tại ${A}'$ có $\tan \widehat{AB{A}'}=\dfrac{A{A}'}{{A}'B}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Vậy $\widehat{AB;\left( {{O}'} \right)}=\widehat{\left( AB;{A}'B \right)}=\widehat{AB{A}'}=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$ Chọn B
A. $\tan \alpha =\sqrt{2}.$
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
C. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}.$
D. $\tan \alpha =1.$
$\Rightarrow BH\bot \left( AO{O}'{A}' \right)\Rightarrow {{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{1}{3}.BH.{{S}_{\!\!\Delta\!\!O{O}'A}}.$
Mà ${{S}_{\!\!\Delta\!\!O{O}'A}}=\dfrac{1}{2}.O{O}'.OA=2{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{O{O}'AB}}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}\times BH.$
Để ${{V}_{O{O}'AB}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow BH=B{O}'\left( H\equiv {O}' \right)\Rightarrow {A}'B=2a\sqrt{2}.$
Tam giác $A{A}'B$ vuông tại ${A}'$ có $\tan \widehat{AB{A}'}=\dfrac{A{A}'}{{A}'B}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$
Vậy $\widehat{AB;\left( {{O}'} \right)}=\widehat{\left( AB;{A}'B \right)}=\widehat{AB{A}'}=\alpha \Rightarrow \tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$ Chọn B
Đáp án B.