Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và $O'$. Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn tâm O lấy điểm A và trên đường tròn tâm $O'$ lấy điểm B. Đặt α là góc giữa AB và đáy. Tính tanα khi thể tích của khối tứ diện $OO'AB$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}$
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
C. $\tan \alpha =1$
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}$
Gọi $A'$ là hình chiếu của A lên đường tròn tâm $O'$. Khi đó góc giữa AB và đáy là góc $\widehat{ABA'}$
Nhận thấy $OO'$ là đoạn vuông góc chung của OA và $O'B$ nên $OO'=d\left( OA,O'B \right)$
Đặt $\varphi =\widehat{\left( OA,O'B \right)}$
Ta có ${{V}_{OO'AB}}=\dfrac{1}{6}OA.O'B.OO'.\sin \varphi \le \dfrac{1}{6}.2a.2a.2a.1=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
Suy ra ${{\left( {{V}_{OO'AB}} \right)}_{\max }}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$, đạt được khi $\varphi ={{90}^{o}}$
Hay $OA\bot O'B\Rightarrow O'A'\bot O'B$
$\Rightarrow \Delta O'A'B'$ vuông cân tại $O'\Rightarrow A'B=O'B\sqrt{2}=2a\sqrt{2}$
Vậy $\tan \alpha =\dfrac{AA'}{A'B}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
A. $\tan \alpha =\dfrac{1}{2}$
B. $\tan \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
C. $\tan \alpha =1$
D. $\tan \alpha =\sqrt{2}$
Gọi $A'$ là hình chiếu của A lên đường tròn tâm $O'$. Khi đó góc giữa AB và đáy là góc $\widehat{ABA'}$
Nhận thấy $OO'$ là đoạn vuông góc chung của OA và $O'B$ nên $OO'=d\left( OA,O'B \right)$
Đặt $\varphi =\widehat{\left( OA,O'B \right)}$
Ta có ${{V}_{OO'AB}}=\dfrac{1}{6}OA.O'B.OO'.\sin \varphi \le \dfrac{1}{6}.2a.2a.2a.1=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
Suy ra ${{\left( {{V}_{OO'AB}} \right)}_{\max }}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$, đạt được khi $\varphi ={{90}^{o}}$
Hay $OA\bot O'B\Rightarrow O'A'\bot O'B$
$\Rightarrow \Delta O'A'B'$ vuông cân tại $O'\Rightarrow A'B=O'B\sqrt{2}=2a\sqrt{2}$
Vậy $\tan \alpha =\dfrac{AA'}{A'B}=\dfrac{2a}{2a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Đáp án B.