Cho hình trụ có bán kính $R$ và chiều cao $\sqrt{3}R$. Hai điểm...

Gọi $I$, $J$ là tâm của hai đáy.
Từ $B$ kẻ đường thẳng song song với trục $d$ của hình trụ, cắt đường tròn đáy kia tại $C$. Khi đó, $(AB,d)$ $=$ $(AB,BC)$ $=\widehat{ABC}$. Suy ra $\widehat{ABC}=30{}^{\circ }$.
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có:
$\tan \widehat{ABC}={\displaystyle \frac{AC}{CB}}$ $\Rightarrow$ $AC$ $=$ $CB.\tan \widehat{ABC}$ $=$ $R\sqrt{3}.\tan 30{}^{\circ }$ $=$ $R\sqrt{3}.{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ $=$ $R$.
Lại có $d\text{//}\left(ABC\right)$ và $\left(ABC\right)\supset AB$ nên $d(d,AB)$ $=d(d,\left(ABC\right))$ $=d(J,\left(ABC\right))$.
Kẻ $JH\mathrm{\perp }AC$, $H\in AC$. Vì $BC\mathrm{\perp }JH$ nên $JH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$. Suy ra $d(J,\left(ABC\right))=JH$.
Xét tam giác $JAC$ ta thấy $JA=JC=AC=R$ nên $JAC$ là tam giác đều cạnh $R$. Khi đó chiều cao là $JH={\displaystyle \frac{R\sqrt{3}}{2}}$. Vậy $d(d,AB)={\displaystyle \frac{R\sqrt{3}}{2}}$.