Google
Câu hỏi: Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng $2a$ và hai đường tròn đáy tâm $O$ và ${O}'$. Xét hai điểm $A,B$ lần lượt di động trên đường tròn tâm $O$ và đường tròn đáy tâm ${O}'$ sao cho $AB$ tạo với $O{O}'$ góc $\alpha \left( 0<\alpha <90{}^\circ \right)$. Khi thể tích khối tứ diện $OA{O}'B$ đạt giá trị lớn nhất thì tan $\alpha$ bằng:
A. $\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
C. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
D. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
A. $\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
C. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
D. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Ta có $r=h=2 a$. Hạ đường sinh $A{A}'$ khi đó $O{O}'\parallel A{A}'\Rightarrow \alpha =\left( AB,O{O}' \right)=\left( AB,A{A}' \right)=\widehat{{A}'AB}$.
Kẻ $BH\bot {O}'{A}'\Rightarrow BH\bot \left( OA{O}' \right)$. Ta có
${{V}_{OA{O}'B}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{OA{O}'}}\cdot d\left( B,\left( OA{O}' \right) \right)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}OA\cdot O{O}'.BH=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}\cdot BH$.
Do đó $V_{O A O^{\prime} B} \max \Leftrightarrow B H \max$. Ta có $BH\le B{O}'=r=2a$. Dấu bằng xảy ra khi $H\equiv {O}'\Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại $B\Rightarrow {A}'B=\sqrt{2}r=2\sqrt{2}a$.
Khi đó trong tam giác vuông ${A}'AB$ có $\tan \alpha =\dfrac{{A}'B}{A{A}'}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{2a}=\sqrt{2}$.
Gọi $H$, $K$ theo thứ tự là hình chiếu của $E$ và $I$ trên mặt phẳng $H=h / c(E,(O x y)), K(1 ;-2 ; 0)=h / c(I,(O x y))$ thì $K(1;-2;0)$ và
Khi đó $\overrightarrow{E I}=\dfrac{E I}{I K} \overrightarrow{I K}=\dfrac{15}{4} \overrightarrow{I K}=\dfrac{15}{4}(0 ; 0 ;-4) \Rightarrow E(1 ;-2 ; 19)$.
${{V}_{OA{O}'B}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{OA{O}'}}\cdot d\left( B,\left( OA{O}' \right) \right)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{2}OA\cdot O{O}'.BH=\dfrac{2{{a}^{2}}}{3}\cdot BH$.
Do đó $V_{O A O^{\prime} B} \max \Leftrightarrow B H \max$. Ta có $BH\le B{O}'=r=2a$. Dấu bằng xảy ra khi $H\equiv {O}'\Rightarrow \Delta ABD$ vuông cân tại $B\Rightarrow {A}'B=\sqrt{2}r=2\sqrt{2}a$.
$d(E,(O x y))=E H \leq E K \leq I K+I E=d(I,(O x y))+I E=4+15=19$.
Dấu bằng xảy ra khi $H \equiv K(1 ;-2 ; 0)$ và $E,I,K$ thẳng hàng theo thứ tự.Khi đó $\overrightarrow{E I}=\dfrac{E I}{I K} \overrightarrow{I K}=\dfrac{15}{4} \overrightarrow{I K}=\dfrac{15}{4}(0 ; 0 ;-4) \Rightarrow E(1 ;-2 ; 19)$.
Đáp án A.