Google
Câu hỏi: Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y={{2}^{x}}, y=0, x=0, x=4$. Đường thẳng $x=a\left( 0<a<4 \right)$ chia hình (H) thành hai phần có diện tích ${{S}_{1}}$ và ${{S}_{2}}$ như hình vẽ. Tìm a để ${{S}_{2}}=4{{S}_{1}}$.
A. $a=2$
B. $a={{\log }_{2}}\dfrac{16}{5}$
C. $a=3$
D. $a={{\log }_{2}}13$
Ta có ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{a}{{{2}^{x}}dx}; {{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{4}{{{2}^{x}}dx}$
Mặt khác, ${{S}_{2}}=4{{S}_{1}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{4}{{{2}^{^{x}}}dx}=4\int\limits_{0}^{a}{{{2}^{x}}dx}\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{a} \\
\end{aligned} \right.=4\left| \begin{aligned}
& ^{a} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{4}}}{\ln }-\dfrac{{{2}^{4}}}{\ln 2}=4\left( \dfrac{{{2}^{a}}}{\ln 2}-\dfrac{{{2}^{0}}}{\ln 2} \right)\Leftrightarrow {{4.2}^{a}}+{{2}^{a}}={{2}^{4}}+4\Leftrightarrow {{5.2}^{a}}\Leftrightarrow a=2$
Vậy $a=2$
B. $a={{\log }_{2}}\dfrac{16}{5}$
C. $a=3$
D. $a={{\log }_{2}}13$
Mặt khác, ${{S}_{2}}=4{{S}_{1}}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{4}{{{2}^{^{x}}}dx}=4\int\limits_{0}^{a}{{{2}^{x}}dx}\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2}\left| \begin{aligned}
& ^{4} \\
& _{a} \\
\end{aligned} \right.=4\left| \begin{aligned}
& ^{a} \\
& _{0} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{2}^{4}}}{\ln }-\dfrac{{{2}^{4}}}{\ln 2}=4\left( \dfrac{{{2}^{a}}}{\ln 2}-\dfrac{{{2}^{0}}}{\ln 2} \right)\Leftrightarrow {{4.2}^{a}}+{{2}^{a}}={{2}^{4}}+4\Leftrightarrow {{5.2}^{a}}\Leftrightarrow a=2$
Vậy $a=2$
Đáp án A.