Google
Câu hỏi: Cho hình thang ABCD có $\widehat{A}=\widehat{B}=90{}^\circ ,AB=BC=a,AD=2a.$ Tính thể tích khối nón tròn xoay sinh ra khi quay quanh hình thang ABCD xung quanh trục CD.
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{12}$
B. $\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{12}$
C. $\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{6}$
A. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{12}$
B. $\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{12}$
C. $\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{6}$
D. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{6}$
Gọi A', B' lần lượt các điểm đối xứng A, B qua CD. H là trung điểm của BB', ta dễ dàng chứng minh được C là trung điểm của $A{A}'$.
Gọi V1 là thể tích khối nón có chiều cao CD, bán kính đáy AC.
V2 là thể tích khối nón cụt có chiều cao CH, bán kính đáy nhỏ BH, bán kính đáy lớn AC .
V3 là thể tích khối nón có chiều cao CH , bán kính đáy BH .
Kẻ $CK\bot AD$ suy ra ABCK là hình vuông $\Rightarrow CK=KD=a.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CKD ta có:
$CD=\sqrt{C{{K}^{2}}+K{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Tam giác vuông CKD vuông cân tại K:
$\widehat{KDC}=45{}^\circ \Rightarrow \widehat{BCH}=45{}^\circ \Rightarrow \Delta BCH$ vuông cân tại H.
$\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi A{{C}^{2}}.CD=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}a\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi CH\left( B{{H}^{2}}+A{{C}^{2}}+BH.AC \right)=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{a}{\sqrt{2}}\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{2}+2{{a}^{2}}+\dfrac{a}{\sqrt{2}}.a\sqrt{2} \right)=\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}}{12}$
${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.CH=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{\pi \sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD quanh trục CD là:
$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}-{{V}_{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}+\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}}{12}-\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}}{12}=\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{6}$
Gọi V1 là thể tích khối nón có chiều cao CD, bán kính đáy AC.
V2 là thể tích khối nón cụt có chiều cao CH, bán kính đáy nhỏ BH, bán kính đáy lớn AC .
V3 là thể tích khối nón có chiều cao CH , bán kính đáy BH .
Kẻ $CK\bot AD$ suy ra ABCK là hình vuông $\Rightarrow CK=KD=a.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông CKD ta có:
$CD=\sqrt{C{{K}^{2}}+K{{D}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC ta có:
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}.$
Tam giác vuông CKD vuông cân tại K:
$\widehat{KDC}=45{}^\circ \Rightarrow \widehat{BCH}=45{}^\circ \Rightarrow \Delta BCH$ vuông cân tại H.
$\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{\sqrt{2}}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi A{{C}^{2}}.CD=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}a\sqrt{2}=\dfrac{2\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}$
${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi CH\left( B{{H}^{2}}+A{{C}^{2}}+BH.AC \right)=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{a}{\sqrt{2}}\left( \dfrac{{{a}^{2}}}{2}+2{{a}^{2}}+\dfrac{a}{\sqrt{2}}.a\sqrt{2} \right)=\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}}{12}$
${{V}_{3}}=\dfrac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.CH=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{\pi \sqrt{2}{{a}^{3}}}{12}$
Vậy thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD quanh trục CD là:
$V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}-{{V}_{3}}=\dfrac{2\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{3}+\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}}{12}-\dfrac{\sqrt{2}\pi {{a}^{2}}}{12}=\dfrac{7\sqrt{2}\pi {{a}^{3}}}{6}$
Đáp án C.