Cho hình phẳng $(H)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính thể tích...

Gọi $({{D}_{1}})$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=0,x=4,f(x)=\sqrt{x}$ và trục hoành.
$({{D}_{2}})$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $x=2,x=4,g(x)=x-2$ và trục hoành.
Gọi ${{V}_{1}},{{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay tạo thành khi quay $({{D}_{1}}),({{D}_{2}})$ quanh trục hoành.
Khi đó $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{0}^{4}{{{f}^{2}}(x)dx}-\pi \int\limits_{2}^{4}{{{g}^{2}}(x)d\text{x}}=\pi \int\limits_{0}^{4}{x\text{dx}}-\pi \int\limits_{2}^{4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}dx}=8\pi -\dfrac{8\pi }{3}=\dfrac{16\pi }{3}$.
Cách khác
Áp dụng công thức tính nhanh cho hình dưới $V=\dfrac{1}{2}\pi {{R}^{2}}h$.
Ta có ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{2}\pi {{.2}^{2}}.4=8\pi $ và ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{.2}^{2}}.2=\dfrac{8\pi }{3}$ ( ${{V}_{2}}$ là thể tích hình nón).
Vậy thể tích cần tìm $V={{V}_{1}}-{{V}_{2}}=\dfrac{16\pi }{3}$.