Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường $y=-\sqrt{x+2}...

Dựa vào hình vẽ, ta thấy hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
$y=-\sqrt{x+2},y=x+2,x=-2,x=1$
Vậy $V=\pi \int\limits_{-2}^{1}{\left[ {{\left( x+2 \right)}^{2}}-{{\left( -\sqrt{x+2} \right)}^{2}} \right]dx=\dfrac{9\pi }{2}}$
Rõ rang lời giải trên là sai lầm, vì trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$ đồ thị của hai hàm số nằm khác phía so với trục hoành. Ta có lời giải chính xác như sau
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường $y=\sqrt{x+2}$ và $y=x+2$ ta có
$\sqrt{x+2}=x+2\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge -2 \\
& x+2={{\left( x+2 \right)}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$
Như vậy, thể tích cần tính là tổng thể tích của hai hình phẳng $\left( {{H}_{1}} \right)$ và $\left( {{H}_{2}} \right)$ quay quanh Ox.
Vậy $V={{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\pi \int\limits_{-2}^{-1}{{{\left( \sqrt{x+2} \right)}^{2}}dx}+\pi \int\limits_{-1}^{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx}$
$=\pi \int\limits_{-2}^{-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}dx}+\pi \int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)dx}=\dfrac{55\pi }{6}$