Google
Câu hỏi: Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi parabol $y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x$, cung tròn có phương trình $y=\sqrt{16-{{x}^{2}}}\left( 0\le x\le 4 \right)$, trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình $D$.
A. $8\pi -\dfrac{16}{3}$.
B. $2\pi -\dfrac{16}{3}$.
C. $4\pi +\dfrac{16}{3}$.
D. $4\pi -\dfrac{16}{3}$.
A. $8\pi -\dfrac{16}{3}$.
B. $2\pi -\dfrac{16}{3}$.
C. $4\pi +\dfrac{16}{3}$.
D. $4\pi -\dfrac{16}{3}$.
Diện tích hình phẳng $D$ là $S=\int_{0}^{4}\left(\sqrt{16-x^{2}}-\left(-\dfrac{1}{2} x^{2}+2 x\right)\right) d x$.
Xét tích phân $I=\int_{0}^{4} \sqrt{16-x^{2}} d x$.
Đặt $x=4 \sin t, t \in\left[\dfrac{-\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]$.
Khi đó $I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{16-16 \sin ^{2} t} .4 \cos t d t=16 \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos ^{2} t d t=16\left(\dfrac{1}{2} t+\dfrac{1}{2} \sin 2 t\right)=4 \pi$
$J=\int\limits_{0}^{4}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x \right)dx}=\left. \left( -\dfrac{1}{6}{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{4}=\dfrac{16}{3}$. Vậy $S=4\pi -\dfrac{16}{3}$.
Xét tích phân $I=\int_{0}^{4} \sqrt{16-x^{2}} d x$.
Đặt $x=4 \sin t, t \in\left[\dfrac{-\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]$.
Khi đó $I=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{16-16 \sin ^{2} t} .4 \cos t d t=16 \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \cos ^{2} t d t=16\left(\dfrac{1}{2} t+\dfrac{1}{2} \sin 2 t\right)=4 \pi$
$J=\int\limits_{0}^{4}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x \right)dx}=\left. \left( -\dfrac{1}{6}{{x}^{3}}+{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{4}=\dfrac{16}{3}$. Vậy $S=4\pi -\dfrac{16}{3}$.
Đáp án D.