Google
Câu hỏi: Cho hình nón $\left( N \right)$ có chiều cao bằng $2a$. Cắt $\left( N \right)$ bởi một mặt phẳng qua đỉnh và cách tâm của đáy một khoảng bằng $a$ ta được thiết diện bằng $\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{11}}{3}$. Thể tích khối nón đã cho bằng
A. $\dfrac{10\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $10\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
Ta có $SO=2a$, thiết diện có diện tích ${{S}_{SAB}}=\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{11}}{3}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, hạ $OH\bot SI$, dễ dàng chứng minh được $OH\bot \left( SAB \right)$ nên $d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OH=a$.
$\Delta SOI$ vuông tại $O$, $OH$ là đường cao nên $\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}$.
Vậy $O{{I}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB=2\sqrt{{{r}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{r}^{2}}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}} \\
& SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{4a}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right. $; với $ r$ là bán kính đáy.
${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}\sqrt{{{r}^{2}}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{11}}{3}$. Giải phương trình được $r=\sqrt{5}a$.
Vậy thể tích khối nón bằng $V=\dfrac{1}{3}2a.\pi .5{{a}^{2}}=\dfrac{10\pi {{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{10\pi {{a}^{3}}}{3}$.
B. $10\pi {{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{5}}{3}$.
D. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}\sqrt{5}}{9}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, hạ $OH\bot SI$, dễ dàng chứng minh được $OH\bot \left( SAB \right)$ nên $d\left( O;\left( SAB \right) \right)=OH=a$.
$\Delta SOI$ vuông tại $O$, $OH$ là đường cao nên $\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}-\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}=\dfrac{3}{4{{a}^{2}}}$.
Vậy $O{{I}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AB=2\sqrt{{{r}^{2}}-O{{I}^{2}}}=2\sqrt{{{r}^{2}}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}} \\
& SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}+\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{4a}{\sqrt{3}} \\
\end{aligned} \right. $; với $ r$ là bán kính đáy.
${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=\dfrac{4a}{\sqrt{3}}\sqrt{{{r}^{2}}-\dfrac{4{{a}^{2}}}{3}}=\dfrac{4{{a}^{2}}\sqrt{11}}{3}$. Giải phương trình được $r=\sqrt{5}a$.
Vậy thể tích khối nón bằng $V=\dfrac{1}{3}2a.\pi .5{{a}^{2}}=\dfrac{10\pi {{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án A.