Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh $S$, đường cao $\mathrm{SO}, A$ và $B$ là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho khoảng cách từ $O$ đến $(S A B)$ bằng $\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{S A O}=30^{\circ}, \widehat{S A B}=60^{\circ}$. Diện tích toàn phần của hình nón theo $a$ bằng
A. $\pi a \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
B. $\pi a^3 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
C. $\pi a^2 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
D. $a^2 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Gọi $K$ là trung điểm của $A B$ ta có $O K \perp A B$ vì tam giác $O A B$ cân tại $O$
Mà $S O \perp A B$ nên $A B \perp(S O K) \Rightarrow(S O K) \perp(S A B)$ mà $(S O K) \cap(S A B)=S K$ nên từ $O$ dựng $O H \perp$
$S K$ thì $O H \perp(S A B) \Rightarrow O H=d(O,(S A B))$
Xét tam giác $S A O$ ta có: $\sin \widehat{S A O}=\dfrac{S O}{S A} \Rightarrow S O=\dfrac{S A}{2}(*)$
Xét tam giác $S A B$ ta có: $\sin \widehat{S A B}=\dfrac{S K}{S A} \Rightarrow S K=\dfrac{S A \sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác $S O K$ ta có: $\dfrac{1}{O H^2}=\dfrac{1}{O K^2}+\dfrac{1}{O S^2}=\dfrac{1}{S K^2-S O^2}+\dfrac{1}{S O^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O H^2}=\dfrac{1}{\dfrac{S A^2}{4}}+\dfrac{1}{\dfrac{3 S A^2}{4}-\dfrac{S A^2}{4}}=\dfrac{4}{S A^2}+\dfrac{2}{S A^2} \Rightarrow \dfrac{6}{S A^2}=\dfrac{3}{a^2} \Rightarrow S A=2 a^2 \Rightarrow S A=a \sqrt{2}$
Thay vào (*) ta được: $S O=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác $S A O$ ta có: $O A=\sqrt{S A^2-S O^2}=\sqrt{2 a^2-\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$
Diện tích toàn phần của hình nón là:
$S_{T P}=S_{x q}+S_{d a y}=\pi R l+\pi R^2=\pi O A . S A+\pi(O A)^2=\pi a^2 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
A. $\pi a \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
B. $\pi a^3 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
C. $\pi a^2 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
D. $a^2 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Mà $S O \perp A B$ nên $A B \perp(S O K) \Rightarrow(S O K) \perp(S A B)$ mà $(S O K) \cap(S A B)=S K$ nên từ $O$ dựng $O H \perp$
$S K$ thì $O H \perp(S A B) \Rightarrow O H=d(O,(S A B))$
Xét tam giác $S A O$ ta có: $\sin \widehat{S A O}=\dfrac{S O}{S A} \Rightarrow S O=\dfrac{S A}{2}(*)$
Xét tam giác $S A B$ ta có: $\sin \widehat{S A B}=\dfrac{S K}{S A} \Rightarrow S K=\dfrac{S A \sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác $S O K$ ta có: $\dfrac{1}{O H^2}=\dfrac{1}{O K^2}+\dfrac{1}{O S^2}=\dfrac{1}{S K^2-S O^2}+\dfrac{1}{S O^2}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{O H^2}=\dfrac{1}{\dfrac{S A^2}{4}}+\dfrac{1}{\dfrac{3 S A^2}{4}-\dfrac{S A^2}{4}}=\dfrac{4}{S A^2}+\dfrac{2}{S A^2} \Rightarrow \dfrac{6}{S A^2}=\dfrac{3}{a^2} \Rightarrow S A=2 a^2 \Rightarrow S A=a \sqrt{2}$
Thay vào (*) ta được: $S O=\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác $S A O$ ta có: $O A=\sqrt{S A^2-S O^2}=\sqrt{2 a^2-\dfrac{a^2}{2}}=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$
Diện tích toàn phần của hình nón là:
$S_{T P}=S_{x q}+S_{d a y}=\pi R l+\pi R^2=\pi O A . S A+\pi(O A)^2=\pi a^2 \sqrt{3}\left(1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
Đáp án C.