Google
Câu hỏi: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R. Trên đường tròn(O) lấy hai điểm A, B sao cho tam giác OAB vuông. Biết diện tích tam giác SAB bằng ${{R}^{2}}\sqrt{2}$, thể tích hình nón đã cho bằng
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}$
A. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{2}$
B. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}$
C. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{12}$
D. $V=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{3}$
Phương pháp
- Gọi H là trung điểm AB.
- Tính SO suy ra thể tích $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của AB ta có OH AB, SH AB .
Tam giác OAB vuông tại O $\Rightarrow AB=R\sqrt{2}, OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.$
Tam giác SAB có ${{S}_{SAB}}={{R}^{2}}\sqrt{2}\Rightarrow SH=\dfrac{2{{S}_{SAB}}}{AB}=\dfrac{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}{R\sqrt{2}}=2R.$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-\dfrac{2{{R}^{2}}}{4}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}.$
Thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
- Gọi H là trung điểm AB.
- Tính SO suy ra thể tích $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
Cách giải:
Gọi H là trung điểm của AB ta có OH AB, SH AB .
Tam giác OAB vuông tại O $\Rightarrow AB=R\sqrt{2}, OH=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{R\sqrt{2}}{2}.$
Tam giác SAB có ${{S}_{SAB}}={{R}^{2}}\sqrt{2}\Rightarrow SH=\dfrac{2{{S}_{SAB}}}{AB}=\dfrac{2{{R}^{2}}\sqrt{2}}{R\sqrt{2}}=2R.$
$\Rightarrow SO=\sqrt{S{{H}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{4{{R}^{2}}-\dfrac{2{{R}^{2}}}{4}}=\dfrac{R\sqrt{14}}{2}.$
Thể tích khối nón $V=\dfrac{1}{3}\pi O{{A}^{2}}.SO=\dfrac{1}{3}\pi {{R}^{2}}.\dfrac{R\sqrt{14}}{2}=\dfrac{\pi {{R}^{3}}\sqrt{14}}{6}.$
Đáp án B.