Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao và bán kính đáy đều bằng $a$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua đỉnh của hình nón và cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng $a$. Khoảng cách từ tâm của đáy tới mặt phẳng $(P)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.
C. $\dfrac{\sqrt{7}}{7}a$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}a$.
Giả sử hình nón đã cho có đỉnh là $S$, tâm của đáy là $O$ và $(P)$ cắt đường tròn đáy theo dây cung $AB$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$ và $K$ là hình chiếu của $O$ trên $SH$.
Ta có: $AB\bot SO, OH$ $\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)$ $\Rightarrow AB\bot OK$, mà $OK\bot SH$ $\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow d\left( O, \left( P \right) \right)=OK$.
Xét tam giác vuông $SOH$ có $OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (do tam giác $OAB$ đều có cạnh bằng $a$ ), $SO=a$.
Suy ra: $OK=\dfrac{OS.OH}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$. Vậy $d\left( O, \left( P \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}a$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$.
C. $\dfrac{\sqrt{7}}{7}a$.
D. $\dfrac{\sqrt{21}}{7}a$.
Gọi $H$ là trung điểm của đoạn $AB$ và $K$ là hình chiếu của $O$ trên $SH$.
Ta có: $AB\bot SO, OH$ $\Rightarrow AB\bot \left( SOH \right)$ $\Rightarrow AB\bot OK$, mà $OK\bot SH$ $\Rightarrow OK\bot \left( SAB \right)$
$\Rightarrow d\left( O, \left( P \right) \right)=OK$.
Xét tam giác vuông $SOH$ có $OH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ (do tam giác $OAB$ đều có cạnh bằng $a$ ), $SO=a$.
Suy ra: $OK=\dfrac{OS.OH}{\sqrt{O{{S}^{2}}+O{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$. Vậy $d\left( O, \left( P \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án D.
