Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng $6$, đường kính đáy bằng $20$. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón và có khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng chứa thiết diện là $4,8$. Tính diện tích $S$ của thiết diện đó.
A. $S=160\sqrt{3}$.
B. $S=80\sqrt{3}$.
C. $S=120$.
D. $S=60$.
A. $S=160\sqrt{3}$.
B. $S=80\sqrt{3}$.
C. $S=120$.
D. $S=60$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $O$ là tâm của đáy hình nón, $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& SO\bot AB \\
& OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Ta lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& SI\bot OH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH=4,8$.
$SO=6$, $OA=\dfrac{20}{2}=10$.
$\Delta SIO$ vuông tại $O$, có đường cao $OH$ :
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow OI=\sqrt{\dfrac{S{{O}^{2}}. O{{H}^{2}}}{S{{O}^{2}}-O{{H}^{2}}}}=8$.
$SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=10$.
$\Delta OIA$ vuông tại $I$ : $IA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}=6$ $\Rightarrow AB=2IA=12$.
Suy ra ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}. SI.AB=60$.
Vậy diện tích thiết diện cần tìm bằng $60$.
& SO\bot AB \\
& OI\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SIO \right)\Rightarrow AB\bot OH$.
Ta lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB\bot OH \\
& SI\bot OH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right) $ $ \Rightarrow d\left( O,\left( SAB \right) \right)=OH=4,8$.
$SO=6$, $OA=\dfrac{20}{2}=10$.
$\Delta SIO$ vuông tại $O$, có đường cao $OH$ :
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{O}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}\Rightarrow OI=\sqrt{\dfrac{S{{O}^{2}}. O{{H}^{2}}}{S{{O}^{2}}-O{{H}^{2}}}}=8$.
$SI=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}=10$.
$\Delta OIA$ vuông tại $I$ : $IA=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}=6$ $\Rightarrow AB=2IA=12$.
Suy ra ${{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}. SI.AB=60$.
Vậy diện tích thiết diện cần tìm bằng $60$.
Đáp án D.