Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao bằng $3a$, biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh hình nón và tạo với mặt đáy của hình nón một góc ${{60}^{0}}$, thiết diện thu được là một tam giác vuông. Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng
A. $15\pi {{a}^{3}}$.
B. $6\pi {{a}^{3}}$.
C. $45\pi {{a}^{3}}$.
D. $135\pi {{a}^{3}}$.
Xét hình nón đỉnh $S$ có chiều cao $h=SO=3a$.
Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$.
Kẻ $OH\bot AB$ và $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SHO \right)\Rightarrow AB\bot SH$
Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $\widehat{SHO}={{60}^{0}}$.
Xét $\Delta OHS$ vuông tại $O$ có $OH=SO.\cot \widehat{SHO}=3a.\cot {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ ;
$SH=\sqrt{O{{H}^{2}}+S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 3a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{3}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên suy ra $HA=HB=HS=2a\sqrt{3}$.
Xét tam giác $HAO$ vuông tại $H$, ta có:
$R=OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{15}$
Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón là: $V=\dfrac{1}{3}h.\pi {{R}^{2}}=\dfrac{1}{3}.3a.\pi .{{\left( a\sqrt{15} \right)}^{2}}=15\pi {{a}^{3}}.$
A. $15\pi {{a}^{3}}$.
B. $6\pi {{a}^{3}}$.
C. $45\pi {{a}^{3}}$.
D. $135\pi {{a}^{3}}$.
Xét hình nón đỉnh $S$ có chiều cao $h=SO=3a$.
Thiết diện của hình nón cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$ là tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$.
Kẻ $OH\bot AB$ và $SO\bot AB$ nên $AB\bot \left( SHO \right)\Rightarrow AB\bot SH$
Vậy góc giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng đáy bằng $\widehat{SHO}={{60}^{0}}$.
Xét $\Delta OHS$ vuông tại $O$ có $OH=SO.\cot \widehat{SHO}=3a.\cot {{60}^{0}}=a\sqrt{3}$ ;
$SH=\sqrt{O{{H}^{2}}+S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 3a \right)}^{2}}}=2a\sqrt{3}$
Tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên suy ra $HA=HB=HS=2a\sqrt{3}$.
Xét tam giác $HAO$ vuông tại $H$, ta có:
$R=OA=\sqrt{O{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( 2a\sqrt{3} \right)}^{2}}}=a\sqrt{15}$
Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón là: $V=\dfrac{1}{3}h.\pi {{R}^{2}}=\dfrac{1}{3}.3a.\pi .{{\left( a\sqrt{15} \right)}^{2}}=15\pi {{a}^{3}}.$
Đáp án A.