Google
Câu hỏi: Cho hình nón có chiều cao $2R$ và bán kính đường tròn đáy R. Xét hình trụ nội tiếp hình nón sao cho thể tích khối trụ lớn nhất, khi đó bán kính đáy của khối trụ bằng
A. $\dfrac{2R}{3}$
B. $\dfrac{R}{3}$
C. $\dfrac{R}{2}$
D. $\dfrac{3R}{4}$
A. $\dfrac{2R}{3}$
B. $\dfrac{R}{3}$
C. $\dfrac{R}{2}$
D. $\dfrac{3R}{4}$
HD: Gọi $r, h$ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của hình trụ
Hình trụ nội tiếp hình nón $\Rightarrow \dfrac{h}{2R}=\dfrac{R-r}{R}\Rightarrow h=2R-2r$ (tam giác đồng dạng)
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}\left( 2R-2r \right)=\pi r.r.\left( 2R-2r \right)$
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có $r.r.\left( 2R-2r \right)\le \dfrac{{{\left( r+r+2R-2r \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{8{{R}^{3}}}{27}$
Do đó $V\le \dfrac{8\pi {{R}^{3}}}{27}.$ Dấu bằng xảy ra khi $r=2R-2r\Leftrightarrow r=\dfrac{2R}{3}.$
Hình trụ nội tiếp hình nón $\Rightarrow \dfrac{h}{2R}=\dfrac{R-r}{R}\Rightarrow h=2R-2r$ (tam giác đồng dạng)
Thể tích khối trụ là $V=\pi {{r}^{2}}h=\pi {{r}^{2}}\left( 2R-2r \right)=\pi r.r.\left( 2R-2r \right)$
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có $r.r.\left( 2R-2r \right)\le \dfrac{{{\left( r+r+2R-2r \right)}^{3}}}{27}=\dfrac{8{{R}^{3}}}{27}$
Do đó $V\le \dfrac{8\pi {{R}^{3}}}{27}.$ Dấu bằng xảy ra khi $r=2R-2r\Leftrightarrow r=\dfrac{2R}{3}.$
Đáp án A.