Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB,BC,C'D'.$ Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN$ và $AP$.
A. ${{60}^{\circ }}.$
B. ${{90}^{\circ }}.$
C. ${{30}^{\circ }}.$
D. ${{45}^{\circ }}.$
Ta có tứ giác $AMC'P$ là hình bình hành nên
$AP//MC'\Rightarrow \left( \widehat{MN,AP} \right)=\left( \widehat{MN,MC'} \right)=\widehat{NMC'}.$
Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng a.
Xét tam giác $C'CM$ vuông tại C có
$C'M=\sqrt{C'{{C}^{2}}+M{{C}^{2}}}=\sqrt{C'{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}+M{{B}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}.$
Xét tam giác $C'CN$ vuông tại C có
$C'N=\sqrt{CC{{'}^{2}}+C{{N}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}a}{2}.$
Mà $MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
Xét tam giác $C'CM$ có $cos\widehat{NMC'}=\dfrac{MC{{'}^{2}}+M{{N}^{2}}-C'{{N}^{2}}}{2MC'.MN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{NMC'}={{45}^{\circ }}\Rightarrow \left( \widehat{MN,AP} \right)={{45}^{\circ }}.$
A. ${{60}^{\circ }}.$
B. ${{90}^{\circ }}.$
C. ${{30}^{\circ }}.$
D. ${{45}^{\circ }}.$
Ta có tứ giác $AMC'P$ là hình bình hành nên
$AP//MC'\Rightarrow \left( \widehat{MN,AP} \right)=\left( \widehat{MN,MC'} \right)=\widehat{NMC'}.$
Gọi cạnh hình vuông có độ dài bằng a.
Xét tam giác $C'CM$ vuông tại C có
$C'M=\sqrt{C'{{C}^{2}}+M{{C}^{2}}}=\sqrt{C'{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}+M{{B}^{2}}}=\dfrac{3a}{2}.$
Xét tam giác $C'CN$ vuông tại C có
$C'N=\sqrt{CC{{'}^{2}}+C{{N}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5}a}{2}.$
Mà $MN=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.$
Xét tam giác $C'CM$ có $cos\widehat{NMC'}=\dfrac{MC{{'}^{2}}+M{{N}^{2}}-C'{{N}^{2}}}{2MC'.MN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{NMC'}={{45}^{\circ }}\Rightarrow \left( \widehat{MN,AP} \right)={{45}^{\circ }}.$
Đáp án D.