Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$. Gọi $M,$ $N$ lần lượt trung điểm của cạnh $AC$ và ${B}'{C}'$, $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$. Tính giá trị của $\sin \alpha $.
A. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\sin \alpha =\dfrac{1}{2}$.
Đặt $AB=a>0$. Gọi $P$ là trung điểm của cạnh ${A}'{C}'$ $\Rightarrow MP\bot \left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right)$.
Suy ra $\alpha =\left( MN,\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)=\widehat{MNP}$.
Xét tam giác vuông $MNP$ ta có $MN=\sqrt{M{{P}^{2}}+P{{N}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow \sin \alpha =\sin \widehat{MNP}=\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
A. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
C. $\sin \alpha =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
D. $\sin \alpha =\dfrac{1}{2}$.
Suy ra $\alpha =\left( MN,\left( {A}'{B}'{C}'{D}' \right) \right)=\widehat{MNP}$.
Xét tam giác vuông $MNP$ ta có $MN=\sqrt{M{{P}^{2}}+P{{N}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$ $\Rightarrow \sin \alpha =\sin \widehat{MNP}=\dfrac{MP}{MN}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
Đáp án B.