Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có tất cả các cạnh...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có tất cả các cạnh bằng

a

. Gọi

I

là trung điểm cạnh

A C

. Khi đó, cosin của góc giữa hai đường thẳng

B^{'} C

và

B I

bằng
A.

\frac{\sqrt{6}}{4}

.
B.

\frac{\sqrt{15}}{5}

.
C.

\frac{\sqrt{6}}{2}

.
D.

\frac{\sqrt{10}}{4}

.

Gọi

M

là trung điểm của

A^{'} C^{'}

. Khi đó ta có

B^{'} M / / B I

.
Suy ra

(B I, B^{'} C) = (B^{'} M, B^{'} C)

hay

\cos (B I, B^{'} C) = \cos (B^{'} M, B^{'} C) = | \cos \hat{M B^{'} C} |

.
Ta có

M C = \sqrt{M C^{2} + C C {^{'}}^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}

,

M B^{'} = \frac{a \sqrt{3}}{2}

,

B^{'} C = \sqrt{C C {^{'}}^{2} + C B {^{'}}^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}

.
Ta có

\cos \hat{M B^{'} C} = \frac{B^{'} M^{2} + B^{'} C^{2} - M C^{2}}{2. B^{'} M . B^{'} C} = \frac{\frac{3 a^{2}}{4} + 2 a^{2} - \frac{5 a^{2}}{4}}{2. \frac{a \sqrt{3}}{2} . a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}

.
Cách 2:

M B^{'} ⊥ (A A^{'} C^{'} C)

\Rightarrow M B^{'} ⊥ M C

\Rightarrow Δ M B^{'} C

vuông tại

M

.
Ta có

\cos \hat{M B^{'} C} = \frac{M B^{'}}{B^{'} C} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{a \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}

.

Đáp án A.

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh...