Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của A trên A'M ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AA'M \right) $ mà $ AH\subset \left( AA'M \right)\Rightarrow BC\bot AH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& AH\bot A'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( A'BC \right) $ nên $ d\left( A,\left( A'BC \right) \right)=AH$.
Trong tam giác AA'M vuông tại A có $AH=\dfrac{AA'.AM}{\sqrt{AA{{'}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu của A trên A'M ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AM \\
& BC\bot AA' \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AA'M \right) $ mà $ AH\subset \left( AA'M \right)\Rightarrow BC\bot AH.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot BC \\
& AH\bot A'M \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( A'BC \right) $ nên $ d\left( A,\left( A'BC \right) \right)=AH$.
Trong tam giác AA'M vuông tại A có $AH=\dfrac{AA'.AM}{\sqrt{AA{{'}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\dfrac{a\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án C.