Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=2\sqrt{3}$ và $A{A}'=2$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh ${A}'{B}',{A}'{C}'$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên). Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ và $\left( MNP \right)$ bằng
A. $\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.$
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{65}.$
C. $\dfrac{17\sqrt{13}}{65}.$
D. $\dfrac{18\sqrt{13}}{65}.$
Gọi $I,Q$ lần lượt là trung điểm của $MN,{B}'{C}'$. Gọi $O=PI\cap AQ$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& O\in \left( A{B}'{C}' \right)\cap \left( MNP \right) \\
& {B}'{C}'//MN \\
& {B}'{C}'\subset \left( A{B}'{C}' \right),MN\subset \left( MNP \right) \\
\end{aligned} \right.$
nên giao tuyến của $\left( A{B}'{C}' \right)$ và $\left( MNP \right)$ là đường thẳng $d$ qua $O$ và song song $MN,{B}'{C}'$. Tam giác $A{B}'{C}'$ cân tại $A$ nên $AQ\bot {B}'{C}'\Rightarrow AQ\bot d$ Tam giác $PMN$ cân tại $P$ nên $PI\bot MN\Rightarrow PI\bot d.$ Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ và $\left( MNP \right)$ là góc giữa $AQ$ và $PI$. Ta có $AP=3,AQ=\sqrt{13},IP=\dfrac{5}{2}$
Vì $\Delta OAP\backsim \Delta OQI$ và $\dfrac{AP}{IQ}=2$ nên $OA=\dfrac{2}{3}AQ=\dfrac{2\sqrt{13}}{3};OP=\dfrac{2}{3}IP=\dfrac{5}{3}.$
$\cos \left( \widehat{\left( A{B}'{C}' \right),\left( MNP \right)} \right)=\cos \left( \widehat{AQ,PI} \right)=\left| \cos \left( \widehat{AOQ} \right) \right|=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{P}^{2}}-A{{P}^{2}}}{2OA.OP}=\dfrac{\sqrt{13}}{65}.$
A. $\dfrac{6\sqrt{13}}{65}.$
B. $\dfrac{\sqrt{13}}{65}.$
C. $\dfrac{17\sqrt{13}}{65}.$
D. $\dfrac{18\sqrt{13}}{65}.$
Gọi $I,Q$ lần lượt là trung điểm của $MN,{B}'{C}'$. Gọi $O=PI\cap AQ$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& O\in \left( A{B}'{C}' \right)\cap \left( MNP \right) \\
& {B}'{C}'//MN \\
& {B}'{C}'\subset \left( A{B}'{C}' \right),MN\subset \left( MNP \right) \\
\end{aligned} \right.$
nên giao tuyến của $\left( A{B}'{C}' \right)$ và $\left( MNP \right)$ là đường thẳng $d$ qua $O$ và song song $MN,{B}'{C}'$. Tam giác $A{B}'{C}'$ cân tại $A$ nên $AQ\bot {B}'{C}'\Rightarrow AQ\bot d$ Tam giác $PMN$ cân tại $P$ nên $PI\bot MN\Rightarrow PI\bot d.$ Do đó góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( A{B}'{C}' \right)$ và $\left( MNP \right)$ là góc giữa $AQ$ và $PI$. Ta có $AP=3,AQ=\sqrt{13},IP=\dfrac{5}{2}$
Vì $\Delta OAP\backsim \Delta OQI$ và $\dfrac{AP}{IQ}=2$ nên $OA=\dfrac{2}{3}AQ=\dfrac{2\sqrt{13}}{3};OP=\dfrac{2}{3}IP=\dfrac{5}{3}.$
$\cos \left( \widehat{\left( A{B}'{C}' \right),\left( MNP \right)} \right)=\cos \left( \widehat{AQ,PI} \right)=\left| \cos \left( \widehat{AOQ} \right) \right|=\dfrac{O{{A}^{2}}+O{{P}^{2}}-A{{P}^{2}}}{2OA.OP}=\dfrac{\sqrt{13}}{65}.$
Đáp án B.