Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=a$, góc giữa ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ bằng $45{}^\circ $. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Tam giác ${A}'CA$ có ${A}'A=AC\tan \widehat{{A}'CA}=a\tan 45{}^\circ =a$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Từ đây ta suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ tam giác đều nên ${A}'A\bot \left( ABC \right)$ nên góc giữa ${A}'C$ và mặt phẳng $\left( ABC \right)$ là góc $\widehat{{A}'CA}$.Tam giác ${A}'CA$ có ${A}'A=AC\tan \widehat{{A}'CA}=a\tan 45{}^\circ =a$.
${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{BAC}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$.
Từ đây ta suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
Đáp án D.