Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng ${{60}^{0}}$, đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và ${A}'$ cách đều $A,B,C$. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
A. $a$.
B. $a\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
A. $a$.
B. $a\sqrt{2}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
Gọi $H$ là trọng tâm tam giác đều $ABC$. Vì ${A}'$ cách đều $A,B,C$ nên hình chiếu vuông góc của đỉnh ${A}'$ là $H$ cũng cách đều $A,B,C$. Khi đó khoảng cách giữa hai đáy chính là ${A}'H.$
Xét tam giác $A{A}'H$ có: $\left\{ \begin{aligned}
& H={{90}^{0}} \\
& AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \\
& \left( \widehat{A{A}',\left( ABC \right)} \right)=\widehat{A'AH}={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H=AH.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a.$
Vậy khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ là ${A}'H=a.$
& H={{90}^{0}} \\
& AH=\dfrac{2}{3}AM=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \\
& \left( \widehat{A{A}',\left( ABC \right)} \right)=\widehat{A'AH}={{60}^{0}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'H=AH.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a.$
Vậy khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ là ${A}'H=a.$
Đáp án A.