Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D có đáy là hình thoi, góc $\widehat{BCD}={{60}^{o}}.$ Thể tích của khối trụ nội tiếp lăng trụ đó là 2 (đường tròn đáy của hình trụ là đường tròn nội tiếp hai đáy của lăng trụ).Thể tích V của khối lăng trụ đã cho bằng
A. $V=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.$
B. $V=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.$
C. $V=\dfrac{16\sqrt{3}}{9}.$
D. $V=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}.$
A. $V=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.$
B. $V=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}.$
C. $V=\dfrac{16\sqrt{3}}{9}.$
D. $V=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}.$
Gọi R, h lần lượt là bán kính và chiều cao của hình trụ nội tiếp lăng trụ, cạnh hình thoi ABCD là x.
Ta có ${{V}_{\left( Tru \right)}}=\pi {{R}^{2}}h=2\pi \Rightarrow {{R}^{2}}h=2.$
Gọi $O=AC\cap BD$ thì O là tâm đường tròn nội tiếp hình thoi và là tâm của hình tròn đáy của hình trụ nội tiếp lăng trụ, gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên BC thì $OH=R.$
Vì $\widehat{BCD}={{60}^{o}}\Leftrightarrow \widehat{ABC}={{120}^{o}}$ khi đó $\widehat{OCB}={{30}^{o}},\widehat{OBC}={{60}^{o}}.$
Tam giác OBE vuông tại E ta có $OB=\dfrac{OE}{\sin {{60}^{o}}}=\dfrac{2\sqrt{3}R}{3}.$
Tam giác OCE vuông tại E ta có $OC=\dfrac{OE}{\sin {{30}^{o}}}=2R.$
Diện tích đáy ${{S}_{ABCD}}=4{{S}_{OBC}}=2OB.OC=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{2}}}{3}$
Thể tích khối lăng trụ bằng $V=h.S=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{2}}h}{3}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.$
Ta có ${{V}_{\left( Tru \right)}}=\pi {{R}^{2}}h=2\pi \Rightarrow {{R}^{2}}h=2.$
Gọi $O=AC\cap BD$ thì O là tâm đường tròn nội tiếp hình thoi và là tâm của hình tròn đáy của hình trụ nội tiếp lăng trụ, gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên BC thì $OH=R.$
Vì $\widehat{BCD}={{60}^{o}}\Leftrightarrow \widehat{ABC}={{120}^{o}}$ khi đó $\widehat{OCB}={{30}^{o}},\widehat{OBC}={{60}^{o}}.$
Tam giác OBE vuông tại E ta có $OB=\dfrac{OE}{\sin {{60}^{o}}}=\dfrac{2\sqrt{3}R}{3}.$
Tam giác OCE vuông tại E ta có $OC=\dfrac{OE}{\sin {{30}^{o}}}=2R.$
Diện tích đáy ${{S}_{ABCD}}=4{{S}_{OBC}}=2OB.OC=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{2}}}{3}$
Thể tích khối lăng trụ bằng $V=h.S=\dfrac{8\sqrt{3}{{R}^{2}}h}{3}=\dfrac{16\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án A.