Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh $BA'=a\sqrt{3}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A'B$ và $B'C$ là:
A. $a\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
$AA'=a\sqrt{2}$
Gọi $M$ là trung điểm $AC$, $E=AB'\cap A'B\Rightarrow E$ là trung điểm của $AB'$
Khi đó $B'C//ME\Rightarrow B'C//\left( A'BM \right)$
$\Rightarrow d\left( B'C,A'B \right)=d\left( B'C,\left( A'BM \right) \right)=d\left( C,\left( A'BM \right) \right)=d\left( A,\left( A'BM \right) \right)$ (*)
Trong mặt phẳng $\left( A'AM \right):$ kẻ $AH\bot A'M$ (1)
Do $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow BM\bot AC$
$ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đứng $\Rightarrow AA'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AA'\bot BM$
Nên $BM\bot \left( A'AM \right)\Rightarrow BM\bot AH$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( A'BM \right)\Rightarrow d\left( A,\left( A'BM \right) \right)=AH$ (**)
Trong tam giác $A'AM$ vuông tại $A$, $AH$ là đường cao:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$ (***)
Từ (*), (**), (***) $\Rightarrow d\left( A'B,B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
A. $a\sqrt{2}$.
B. $\dfrac{a}{3}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
D. $\dfrac{2a}{3}$.
.
Gọi $M$ là trung điểm $AC$, $E=AB'\cap A'B\Rightarrow E$ là trung điểm của $AB'$
Khi đó $B'C//ME\Rightarrow B'C//\left( A'BM \right)$
$\Rightarrow d\left( B'C,A'B \right)=d\left( B'C,\left( A'BM \right) \right)=d\left( C,\left( A'BM \right) \right)=d\left( A,\left( A'BM \right) \right)$ (*)
Trong mặt phẳng $\left( A'AM \right):$ kẻ $AH\bot A'M$ (1)
Do $\Delta ABC$ đều $\Rightarrow BM\bot AC$
$ABC.A'B'C'$ là hình lăng trụ đứng $\Rightarrow AA'\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AA'\bot BM$
Nên $BM\bot \left( A'AM \right)\Rightarrow BM\bot AH$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\bot \left( A'BM \right)\Rightarrow d\left( A,\left( A'BM \right) \right)=AH$ (**)
Trong tam giác $A'AM$ vuông tại $A$, $AH$ là đường cao:
$\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{A'{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{2{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$ (***)
Từ (*), (**), (***) $\Rightarrow d\left( A'B,B'C \right)=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}$.
Đáp án C.