Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AB.$ Cho biết $AB=2a,$ $BC=\sqrt{13}a$, $C{C}'=4a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${A}'B$ và $CE$ bằng.
A. $\dfrac{4a}{7}$
B. $\dfrac{12a}{7}$
C. $\dfrac{6a}{7}$
D. $\dfrac{3a}{7}$
A. $\dfrac{4a}{7}$
B. $\dfrac{12a}{7}$
C. $\dfrac{6a}{7}$
D. $\dfrac{3a}{7}$
HD:
Ta có $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=3a.$
Dựng $Bx//CE\Rightarrow d\left( CE;{A}'B \right)=d\left( CE;\left( {A}'Bx \right) \right)$
$=d\left( E;\left( {A}'Bx \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( {A}'Bx \right) \right).$
Dựng $AK\bot Bx,AF\bot {A}'K\Rightarrow d\left( A;\left( {A}'Bx \right) \right)=AF.$
Do $AK\bot Bx\Rightarrow AK\bot CE$ tại
$H\Rightarrow AH=\dfrac{AC.AE}{\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=\dfrac{3a}{\sqrt{10}}$
Suy ra $AK=\dfrac{6a}{\sqrt{10}}.$
Mặt khác $A{A}'=C{C}'=4a\Rightarrow AF=\dfrac{A{A}'.AK}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{12a}{7}.$
Do đó $d=\dfrac{1}{2}AF=\dfrac{6a}{7}.$
Ta có $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=3a.$
Dựng $Bx//CE\Rightarrow d\left( CE;{A}'B \right)=d\left( CE;\left( {A}'Bx \right) \right)$
$=d\left( E;\left( {A}'Bx \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( {A}'Bx \right) \right).$
Dựng $AK\bot Bx,AF\bot {A}'K\Rightarrow d\left( A;\left( {A}'Bx \right) \right)=AF.$
Do $AK\bot Bx\Rightarrow AK\bot CE$ tại
$H\Rightarrow AH=\dfrac{AC.AE}{\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{E}^{2}}}}=\dfrac{3a}{\sqrt{10}}$
Suy ra $AK=\dfrac{6a}{\sqrt{10}}.$
Mặt khác $A{A}'=C{C}'=4a\Rightarrow AF=\dfrac{A{A}'.AK}{\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}+A{{K}^{2}}}}=\dfrac{12a}{7}.$
Do đó $d=\dfrac{1}{2}AF=\dfrac{6a}{7}.$
Đáp án C.