Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh $A{A}'=a$, đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=2a$, $AB=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ đường thẳng $A{A}'$ đến mặt phẳng $\left( BC{C}'{B}' \right)$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Kẻ $AH\bot BC$.
Lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đứng nên $AH\bot B{B}'$.
Do đó $AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$.
Ta có $A{A}'\text{//}\left( BC{C}'{B}' \right)$ nên $d\left( A{A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=2a$, $AB=a\sqrt{3}$ nên $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a$.
Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, có $AH\bot BC$ nên $AH.BC=AC.AB$
$\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}$
$\Leftrightarrow AH=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( A{A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$
Lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ là lăng trụ đứng nên $AH\bot B{B}'$.
Do đó $AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)$.
Ta có $A{A}'\text{//}\left( BC{C}'{B}' \right)$ nên $d\left( A{A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=2a$, $AB=a\sqrt{3}$ nên $AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a$.
Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$, có $AH\bot BC$ nên $AH.BC=AC.AB$
$\Leftrightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}$
$\Leftrightarrow AH=\dfrac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( A{A}', \left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.