Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có cạnh đáy bằng a, đường thẳng $B{C}'$ tạo với mặt phẳng
$\left( AC{C}'{A}' \right)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích V của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$
Ta có $\left( ABC \right)\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$, gọi H là trung điểm của AC $\Rightarrow $ $BH\bot AC\Rightarrow BH\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$
Vậy $BH\bot {C}'H$
Từ đó suy ra góc giữa $B{C}'$ và $\left( AC{C}'{A}' \right)$ là góc $\widehat{B{C}'H}$
Vậy $\widehat{B{C}'H}=30{}^\circ $
Xét tam giác $BH{C}'$ vuông tại H ta có
${C}'H=\dfrac{BH}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$
Xét tam giác ${C}'CH$ vuông tại C ta có ${C}'C=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$
$\left( AC{C}'{A}' \right)$ một góc $30{}^\circ $. Thể tích V của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $V=\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}}{8}$
C. $V=\dfrac{\sqrt{3}}{4}{{a}^{3}}$
D. $V=\dfrac{3}{8}{{a}^{3}}$
Ta có $\left( ABC \right)\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$, gọi H là trung điểm của AC $\Rightarrow $ $BH\bot AC\Rightarrow BH\bot \left( AC{C}'{A}' \right)$
Vậy $BH\bot {C}'H$
Từ đó suy ra góc giữa $B{C}'$ và $\left( AC{C}'{A}' \right)$ là góc $\widehat{B{C}'H}$
Vậy $\widehat{B{C}'H}=30{}^\circ $
Xét tam giác $BH{C}'$ vuông tại H ta có
${C}'H=\dfrac{BH}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{3a}{2}$
Xét tam giác ${C}'CH$ vuông tại C ta có ${C}'C=\sqrt{\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{2}$.
Thể tích khối lăng trụ $V=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}{{a}^{3}}$
Đáp án A.