Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ đều $ABC.{A}'{B}'{C}'$. Biết khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$ và $\left( BC{C}'{B}' \right)$ bằng $a$ với $\cos \alpha =\dfrac{1}{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{10}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{20}$.
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{15}}{10}$.
D. $\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{15}}{20}$.
Gọi $M$ là trunng điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& C{C}'\bot AB \\
& CM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( C{C}'M \right)$
$\Rightarrow \left( C{C}'M \right)\bot \left( AB{C}' \right)$. Mà $\left( C{C}'M \right)\cap \left( AB{C}' \right)={C}'M$ nên nếu gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên ${C}'M$ thì $H$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$.
$\Rightarrow d\left( C,\left( AB{C}' \right) \right)=CH=a$.
Dựng đường thẳng đi qua $G$ và song song với $CH$, cắt ${C}'M$ tại điểm $N$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& GN\bot \left( AB{C}' \right) \\
& AG\bot \left( BC{C}'{B}' \right) \\
\end{aligned} \right. $ nên góc giữa hai mặt phẳng $ \left( AB{C}' \right) $ và $ \left( BC{C}'{B}' \right) $ là góc $ \widehat{AGN}=\alpha $. Lại có: .$ GN=\dfrac{1}{3}CH=\dfrac{a}{3};AG=\dfrac{GN}{\cos \alpha }=a\Rightarrow AB=AG\sqrt{3}=a\sqrt{3}$;
$\dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{M}^{2}}}=\dfrac{5}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow C{C}'=\dfrac{3a\sqrt{5}}{5};{{S}_{\Delta ABC}}={{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng $\dfrac{1}{3}C{C}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{20}$.
A. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{10}$.
B. $\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{20}$.
C. $\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{15}}{10}$.
D. $\dfrac{9{{a}^{3}}\sqrt{15}}{20}$.
Gọi $M$ là trunng điểm của $AB,G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& C{C}'\bot AB \\
& CM\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AB\bot \left( C{C}'M \right)$
$\Rightarrow \left( C{C}'M \right)\bot \left( AB{C}' \right)$. Mà $\left( C{C}'M \right)\cap \left( AB{C}' \right)={C}'M$ nên nếu gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên ${C}'M$ thì $H$ là hình chiếu của $C$ trên mặt phẳng $\left( AB{C}' \right)$.
$\Rightarrow d\left( C,\left( AB{C}' \right) \right)=CH=a$.
Dựng đường thẳng đi qua $G$ và song song với $CH$, cắt ${C}'M$ tại điểm $N$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& GN\bot \left( AB{C}' \right) \\
& AG\bot \left( BC{C}'{B}' \right) \\
\end{aligned} \right. $ nên góc giữa hai mặt phẳng $ \left( AB{C}' \right) $ và $ \left( BC{C}'{B}' \right) $ là góc $ \widehat{AGN}=\alpha $. Lại có: .$ GN=\dfrac{1}{3}CH=\dfrac{a}{3};AG=\dfrac{GN}{\cos \alpha }=a\Rightarrow AB=AG\sqrt{3}=a\sqrt{3}$;
$\dfrac{1}{C{{{{C}'}}^{2}}}=\dfrac{1}{C{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{C{{M}^{2}}}=\dfrac{5}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow C{C}'=\dfrac{3a\sqrt{5}}{5};{{S}_{\Delta ABC}}={{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}.\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
Vậy thể tích khối lăng trụ bằng $\dfrac{1}{3}C{C}'.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{20}$.
Đáp án B.