Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích là V, gọi M, N lần lượt là trung điểm của $A'C'$ và $B'C'$, G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (MNG) chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần, thể tích khối đa diện chứa đỉnh $C'$ là
A. $\dfrac{25}{108}V.$
B. $\dfrac{36}{108}V.$
C. $\dfrac{41}{108}V.$
D. $\dfrac{37}{108}V.$
Do $MN//A'B'//AB$ nên mặt phẳng (MNG) cắt AC và BC tại Q, P thì $PQ//MN//AB$.
Gọi $S={{S}_{ABC}};h$ là chiều cao khối lăng trụ.
Ta thấy $MNC'.QPC$ là khối chóp cụt
${{S}_{1}}={{S}_{C'NM}}=\dfrac{S}{4};{{S}_{2}}={{S}_{CPQ}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}S=\dfrac{4}{9}S$
Do đó:
${{V}_{MNC'.QPC}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}}+{{S}_{2}} \right)=\dfrac{37}{108}Sh=\dfrac{37}{108}V$.
A. $\dfrac{25}{108}V.$
B. $\dfrac{36}{108}V.$
C. $\dfrac{41}{108}V.$
D. $\dfrac{37}{108}V.$
Do $MN//A'B'//AB$ nên mặt phẳng (MNG) cắt AC và BC tại Q, P thì $PQ//MN//AB$.
Gọi $S={{S}_{ABC}};h$ là chiều cao khối lăng trụ.
Ta thấy $MNC'.QPC$ là khối chóp cụt
${{S}_{1}}={{S}_{C'NM}}=\dfrac{S}{4};{{S}_{2}}={{S}_{CPQ}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}S=\dfrac{4}{9}S$
Do đó:
${{V}_{MNC'.QPC}}=\dfrac{h}{3}\left( {{S}_{1}}+\sqrt{{{S}_{1}}{{S}_{2}}}+{{S}_{2}} \right)=\dfrac{37}{108}Sh=\dfrac{37}{108}V$.
Đáp án D.