Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}' \right)$ là trung điểm cạnh ${B}'{C}'$. Biết khoảng cách giữa ${C}'$ và $\left( AB{B}'{A}' \right)$ bằng $\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$.Sin góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( {A}'B{C}' \right)$ và $\left( A{B}'{C}' \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{13}}{13}.$
B. $\dfrac{\sqrt{130}}{13}.$
C. $\dfrac{2\sqrt{39}}{13}.$
D. $\dfrac{\sqrt{39}}{13}.$
A. $\dfrac{\sqrt{13}}{13}.$
B. $\dfrac{\sqrt{130}}{13}.$
C. $\dfrac{2\sqrt{39}}{13}.$
D. $\dfrac{\sqrt{39}}{13}.$
Gọi H là trung điểm của ${B}'{C}'$.
Dựng $HE\bot {A}'{B}', HF\bot AE$ thì
$d\left( H;\left( {A}'AB \right) \right)=HF=\dfrac{1}{2}{{d}_{{{C}'}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
Lại có $HE=H{B}'\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{d_{H}^{2}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi $I=A{B}'\cap {A}'B$, dựng $HK\bot {C}'I$, mặt khác ${A}'H\bot {B}'{C}'$ suy ra ${A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)$
Nên ${A}'H\bot {C}'I\Rightarrow CI\bot \left( {A}'KH \right)\Rightarrow \alpha =\widehat{HK{A}'}$
Lại có $A{B}'=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{{{B}'}}^{2}}}=a\Rightarrow A{B}'{C}'$ đều nên ${C}'I\bot A{B}'$
Do đó $HK=\dfrac{{B}'I}{2}=\dfrac{a}{4},{A}'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\sin \widehat{H{A}'}=\dfrac{{A}'H}{{A}'K}$
$=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$.
Dựng $HE\bot {A}'{B}', HF\bot AE$ thì
$d\left( H;\left( {A}'AB \right) \right)=HF=\dfrac{1}{2}{{d}_{{{C}'}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}$
Lại có $HE=H{B}'\sin 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \dfrac{1}{A{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{d_{H}^{2}}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Gọi $I=A{B}'\cap {A}'B$, dựng $HK\bot {C}'I$, mặt khác ${A}'H\bot {B}'{C}'$ suy ra ${A}'H\bot \left( A{B}'{C}' \right)$
Nên ${A}'H\bot {C}'I\Rightarrow CI\bot \left( {A}'KH \right)\Rightarrow \alpha =\widehat{HK{A}'}$
Lại có $A{B}'=\sqrt{A{{H}^{2}}+H{{{{B}'}}^{2}}}=a\Rightarrow A{B}'{C}'$ đều nên ${C}'I\bot A{B}'$
Do đó $HK=\dfrac{{B}'I}{2}=\dfrac{a}{4},{A}'H=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\sin \widehat{H{A}'}=\dfrac{{A}'H}{{A}'K}$
$=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{A}'{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$.
Đáp án C.