Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Gọi O, ${O}'$ lần lượt là tâm của hai tam giác ABC và ${A}'{B}'{C}'$, M là trung điểm $\text{A{A}'}$ và G là trọng tâm tam giác ${B}'{C}'C$. Biết ${{V}_{{O}'OMG}}={{a}^{3}}$, tính chiều cao h của khối lăng trụ.
A. $h=24a\sqrt{3}$
B. $h=36a\sqrt{3}$
C. $h=9a\sqrt{3}$
D. $h=18a\sqrt{3}$
A. $h=24a\sqrt{3}$
B. $h=36a\sqrt{3}$
C. $h=9a\sqrt{3}$
D. $h=18a\sqrt{3}$
Gọi E, F là trung điểm của BC và ${B}'{C}'$, ta có ${{S}_{\text{MO{O}'}}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{A{A}'{O}'O}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{{S}_{A{A}'FE}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{A{A}'FE}}$.
Suy ra ${{V}_{G.MO{O}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{G.A{A}'EF}}$.
Gọi I là trung điểm EF.
Suy ra $GI=\dfrac{1}{3}{C}'I\Rightarrow {{V}_{G.A{A}'EF}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{{C}'.A{A}'EF}}$.
Lại có
${{V}_{{C}'.A{A}'EF}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{AEC.{A}'F{C}'}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{{V}_{ABC.{A}'B'{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'B'{C}'}}$.
Vậy ${{V}_{G.MO{O}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Suy ra $h=\dfrac{27{{a}^{3}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{27{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=9a\sqrt{3}$.
Suy ra ${{V}_{G.MO{O}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{G.A{A}'EF}}$.
Gọi I là trung điểm EF.
Suy ra $GI=\dfrac{1}{3}{C}'I\Rightarrow {{V}_{G.A{A}'EF}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{{C}'.A{A}'EF}}$.
Lại có
${{V}_{{C}'.A{A}'EF}}=\dfrac{2}{3}{{V}_{AEC.{A}'F{C}'}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{{V}_{ABC.{A}'B'{C}'}}=\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'B'{C}'}}$.
Vậy ${{V}_{G.MO{O}'}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{1}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}$
Suy ra $h=\dfrac{27{{a}^{3}}}{{{S}_{\Delta ABC}}}=\dfrac{27{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}\sqrt{3}}=9a\sqrt{3}$.
Đáp án C.