Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}' $ cạnh bên có độ dài bằng $4$, $B{B}'$ tạo với đáy góc ${{60}^{0}}$. Hình chiếu vuông góc của ${A}'$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$. Biết khoảng cách từ điểm ${A}'$ đến các đường thẳng $B{B}'$ và $C{C}'$ bằng nhau và bằng $3$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$.
A. $18\sqrt{3}\cdot $
B. $9\sqrt{3}\cdot $
C. $6\sqrt{3}\cdot $
D. $12\sqrt{3}\cdot $
Gọi $M,{M}'$ lần lượt là trung điểm $BC$ và ${B}'{C}'$.
Gọi ${H}',{K}'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên $B{B}'$ và $C{C}'$.
$H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $B{B}'$ và $C{C}'$.
Khi đó $d\left( {A}';B{B}' \right)={A}'{H}'=3$ và $d\left( {A}';C{C}' \right)={A}'{K}'=3$ và $A{A}'\bot \left( {A}'{H}'{K}' \right)$.
Góc giữa $\left( B{B}',\left( ABC \right) \right)=\left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AG}={{60}^{0}}$.
Trong tam giác vuông ${A}'AG$ ta có ${A}'G=\sin {{60}^{0}}.A{A}'=2\sqrt{3}$,
$AG=\cos {{60}^{0}}.A{A}'=2$ suy ra $AM=\dfrac{3}{2}AG=3$
Gọi $I=M{M}'\cap {H}'{K}'$. Khi đó $I$ là trung điểm ${H}'{K}'$.
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{V}_{A'H'K'.AHK}}$ (vì ${{V}_{A'.B'C'H'K'}}={{V}_{A.BCHK}}$ ).
${A}'G.{{S}_{A'B'C'}}=A{A}'.{{S}_{A'H'K'}}\Leftrightarrow \dfrac{{{S}_{A'H'K'}}}{{{S}_{A'B'C'}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos {{30}^{0}}$.
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( \left( {A}'{B}'{C}' \right),\left( {A}'{H}'{K}' \right) \right)=\widehat{{M}'A'I}={{30}^{0}}$.
Trong tam giác vuông ${M}'I{A}'$ ta có ${A}'I=\cos {{30}^{0}}.{A}'{M}'=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông ${A}'I{K}'$ ta có $IK=\dfrac{3}{2}$ suy ra ${H}'{K}'=2I{K}'=3$.
Diện tích tam giác ${{S}_{A'H'K'}}=\dfrac{1}{2}.3.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích lăng trụ $V=A{A}'.{{S}_{A'H'K'}}=4.\dfrac{9\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$.
A. $18\sqrt{3}\cdot $
B. $9\sqrt{3}\cdot $
C. $6\sqrt{3}\cdot $
D. $12\sqrt{3}\cdot $
Gọi ${H}',{K}'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của ${A}'$ lên $B{B}'$ và $C{C}'$.
$H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $B{B}'$ và $C{C}'$.
Khi đó $d\left( {A}';B{B}' \right)={A}'{H}'=3$ và $d\left( {A}';C{C}' \right)={A}'{K}'=3$ và $A{A}'\bot \left( {A}'{H}'{K}' \right)$.
Góc giữa $\left( B{B}',\left( ABC \right) \right)=\left( A{A}',\left( ABC \right) \right)=\widehat{{A}'AG}={{60}^{0}}$.
Trong tam giác vuông ${A}'AG$ ta có ${A}'G=\sin {{60}^{0}}.A{A}'=2\sqrt{3}$,
$AG=\cos {{60}^{0}}.A{A}'=2$ suy ra $AM=\dfrac{3}{2}AG=3$
Gọi $I=M{M}'\cap {H}'{K}'$. Khi đó $I$ là trung điểm ${H}'{K}'$.
Ta có ${{V}_{ABC.A'B'C'}}={{V}_{A'H'K'.AHK}}$ (vì ${{V}_{A'.B'C'H'K'}}={{V}_{A.BCHK}}$ ).
${A}'G.{{S}_{A'B'C'}}=A{A}'.{{S}_{A'H'K'}}\Leftrightarrow \dfrac{{{S}_{A'H'K'}}}{{{S}_{A'B'C'}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos {{30}^{0}}$.
Góc giữa hai mặt phẳng $\left( \left( {A}'{B}'{C}' \right),\left( {A}'{H}'{K}' \right) \right)=\widehat{{M}'A'I}={{30}^{0}}$.
Trong tam giác vuông ${M}'I{A}'$ ta có ${A}'I=\cos {{30}^{0}}.{A}'{M}'=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác vuông ${A}'I{K}'$ ta có $IK=\dfrac{3}{2}$ suy ra ${H}'{K}'=2I{K}'=3$.
Diện tích tam giác ${{S}_{A'H'K'}}=\dfrac{1}{2}.3.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích lăng trụ $V=A{A}'.{{S}_{A'H'K'}}=4.\dfrac{9\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$.
Đáp án B.