Google
Câu hỏi: Cho hình lăng trị đứng tam giác $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và $AB=AC=a.$ Biết góc giữa hai đường thẳng $A{C}'$ và $B{A}'$ bằng $60{}^\circ .$ Thể tích của khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}'$ bằng
A. ${{a}^{3}}.$
B. $2{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}.}{2}$
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ${A}'{B}'D{C}'.$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& {A}'{B}'={A}'{C}' \\
& \widehat{{B}'{A}'{C}'}=90{}^\circ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình vuông.
$\Rightarrow A{C}'\text{//}BD\Rightarrow \widehat{\left( A{C}';B{A}' \right)}=\widehat{\left( BD;B{A}' \right)}=\widehat{{A}'BD}=60{}^\circ $
Gọi $O={A}'D\cap {B}'{C}'\Rightarrow $ là trung điểm của ${A}'D.$
$\Delta {A}'{B}'{C}'$ vuông cân tại ${A}'\Rightarrow {A}'O=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {A}'D=a\sqrt{2}.$
Đặt $B{B}'=x\Rightarrow {A}'B=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}};BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}.$
Trường hợp 1: $\widehat{{A}'BD}=60{}^\circ .$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ${A}'BD$ ta có:
${A}'{{D}^{2}}={A}'{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}-2{A}'B.BD.\cos 60{}^\circ \Rightarrow 2{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}-2\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}={{x}^{2}}+{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=B{B}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Trường hợp 2: $\widehat{{A}'BD}=120{}^\circ .$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ${A}'BD$ ta có:
${A}'{{D}^{2}}={A}'{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}-2{A}'B.BD.\cos 120{}^\circ \Rightarrow 2{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}+2\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 0=3{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a=0$ (vô lí). Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
A. ${{a}^{3}}.$
B. $2{{a}^{3}}.$
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$
D. $\dfrac{{{a}^{3}}.}{2}$
Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ${A}'{B}'D{C}'.$
Do $\left\{ \begin{aligned}
& {A}'{B}'={A}'{C}' \\
& \widehat{{B}'{A}'{C}'}=90{}^\circ \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {A}'{B}'{C}'{D}'$ là hình vuông.
$\Rightarrow A{C}'\text{//}BD\Rightarrow \widehat{\left( A{C}';B{A}' \right)}=\widehat{\left( BD;B{A}' \right)}=\widehat{{A}'BD}=60{}^\circ $
Gọi $O={A}'D\cap {B}'{C}'\Rightarrow $ là trung điểm của ${A}'D.$
$\Delta {A}'{B}'{C}'$ vuông cân tại ${A}'\Rightarrow {A}'O=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow {A}'D=a\sqrt{2}.$
Đặt $B{B}'=x\Rightarrow {A}'B=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}};BD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}.$
Trường hợp 1: $\widehat{{A}'BD}=60{}^\circ .$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ${A}'BD$ ta có:
${A}'{{D}^{2}}={A}'{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}-2{A}'B.BD.\cos 60{}^\circ \Rightarrow 2{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}-2\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}={{x}^{2}}+{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\Rightarrow {{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=B{B}'.{{S}_{\Delta ABC}}=a.\dfrac{1}{2}{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Trường hợp 2: $\widehat{{A}'BD}=120{}^\circ .$
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ${A}'BD$ ta có:
${A}'{{D}^{2}}={A}'{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}-2{A}'B.BD.\cos 120{}^\circ \Rightarrow 2{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}+2\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 0=3{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a=0$ (vô lí). Vậy ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}'}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}.$
Đáp án D.