Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữa nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và ${B}'{C}'$. Biết rằng góc giữa $MN$ và $A{A}'$ bằng $30{}^\circ $. Thể tích hình hộp chữ nhật đã cho bằng
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
Gọi ${M}'$ là trung điểm ${A}'{B}'$ khi đó $M{M}'//A{A}'\Rightarrow \left( MN, A{A}' \right)=\left( MN, M{M}' \right)=\angle {M}'MN=30{}^\circ $
Mặt khác ${M}'N=\dfrac{1}{2}{A}'{C}'=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow A{A}'=\dfrac{N{M}'}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=a\sqrt{6}$ $\Rightarrow V=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=a\sqrt{6}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
A. $4{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
B. $2{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$.
D. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}$
Mặt khác ${M}'N=\dfrac{1}{2}{A}'{C}'=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow A{A}'=\dfrac{N{M}'}{\tan 30{}^\circ }=\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}=a\sqrt{6}$ $\Rightarrow V=A{A}'.{{S}_{ABCD}}=a\sqrt{6}.{{\left( 2a \right)}^{2}}=4{{a}^{3}}\sqrt{6}$.
Đáp án A.