Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có $AB=A{A}'=a,AD=2a$. Gọi góc giữa đường chéo ${A}'C$ và mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$ là $\alpha $. Khi đó $\tan \alpha $ bằng
A. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\tan \alpha =\sqrt{5}$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
A. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\tan \alpha =\sqrt{5}$.
C. $\tan \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
D. $\tan \alpha =\sqrt{3}$.
Ta có $A{A}'\bot \left( ABCD \right)$ nên hình chiếu vuông góc của ${A}'C$ lên $\left( ABCD \right)$ là đường $AC$.
Suy ra góc giữa ${A}'C$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa ${A}'C$ và $AC$ hay góc $\widehat{AC{A}'}=\alpha $.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có:
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{5}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $A{A}'C$ vuông tại $A$ ta có:
$\tan \alpha =\dfrac{A{A}'}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
Suy ra góc giữa ${A}'C$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa ${A}'C$ và $AC$ hay góc $\widehat{AC{A}'}=\alpha $.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$ ta có:
$A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{5}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác $A{A}'C$ vuông tại $A$ ta có:
$\tan \alpha =\dfrac{A{A}'}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án A.