Google
Câu hỏi: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có độ dài các cạnh là $AB=5a;BC=7a;A{A}'=8a.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm ${C}'$ và cắt các tia $AB,AD,A{A}'$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho ${C}'$ là trọng tâm của tam giác MNP. Thể tích tứ diện AMNP bằng
A. $1680{{a}^{3}}.$
B. $840{{a}^{3}}.$
C. $1260{{a}^{3}}.$
D. $2520{{a}^{3}}.$
A. $1680{{a}^{3}}.$
B. $840{{a}^{3}}.$
C. $1260{{a}^{3}}.$
D. $2520{{a}^{3}}.$
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $A\equiv O$ và đơn vị hóa a = 1.
Theo đề bài ta có ${C}'\left( 5;7;8 \right).$
Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các tia $AB,AD,A{A}'$ lần lượt tại $M\left( {{x}_{0}};0;0 \right),N\left( 0;{{y}_{0}};0 \right),P\left( 0;0;{{z}_{0}} \right).$
Vì ${C}'$ là trọng tâm của tam giác MNP nên $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3.5=15 \\
& {{y}_{0}}=3.7=21 \\
& {{z}_{0}}=3.8=24 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=15 \\
& AN=21 \\
& AP=24 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{6}AM.AN.AP=1260.$ Vậy thể tích tứ diện AMNP bằng $1260{{a}^{3}}.$
Theo đề bài ta có ${C}'\left( 5;7;8 \right).$
Giả sử mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các tia $AB,AD,A{A}'$ lần lượt tại $M\left( {{x}_{0}};0;0 \right),N\left( 0;{{y}_{0}};0 \right),P\left( 0;0;{{z}_{0}} \right).$
& {{x}_{0}}=3.5=15 \\
& {{y}_{0}}=3.7=21 \\
& {{z}_{0}}=3.8=24 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& AM=15 \\
& AN=21 \\
& AP=24 \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra ${{V}_{AMNP}}=\dfrac{1}{6}AM.AN.AP=1260.$ Vậy thể tích tứ diện AMNP bằng $1260{{a}^{3}}.$
Đáp án C.