Google
Câu hỏi: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có thể tích bằng 4. Biết rằng ${A}'C\bot \left( ABCD \right)$ và ${A}'C=2$, khoảng cách từ các điểm B, D tới đường thẳng $A{A}'$ lần lượt là $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ và $\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$. Diện tích xung quanh của hình hộp đã cho gần với kết quả nào nhất sau đây?
A. 18,4.
B. 11,3.
C. 25,2.
D. 14,6.
Dựng CH, CI, CK lần lượt vuông góc với $B{B}',A{A}',D{D}'$, ta có $CH=\dfrac{2\sqrt{5}}{3},CK=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Đặt $A{A}'=x,\measuredangle HCK=\alpha $, ta có $4={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{CHIK}}=\dfrac{4x\sqrt{10}}{9}.\sin \alpha \Leftrightarrow x=\dfrac{9}{\sqrt{10}\sin \alpha }$.
Mặt khác $\Delta {A}'CA$ vuông tại C nên $S=\left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right)$
Tứ giác CHIK là hình bình hành $\Rightarrow C{{I}^{2}}=C{{H}^{2}}+C{{K}^{2}}+2CH\cdot CK\cdot \cos \alpha =\dfrac{28+8\sqrt{10}\cos \alpha }{9}$
Khi đó
$\dfrac{4\left( 81-40{{\sin }^{2}}\alpha \right)}{81}=\dfrac{28+8\sqrt{10}\cos \alpha }{9}\Leftrightarrow 40{{\cos }^{2}}\alpha -18\sqrt{10}\cos \alpha -22=0\Leftrightarrow \cos \alpha =-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow x=3$.
Vậy ${{S}_{xq}}=2\left( {{S}_{AB{B}'{A}'}}+{{S}_{AD{D}'{A}'}} \right)=2A{A}'\left( CH+CK \right)=4\left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right)$.
Chú ý bài toán có sử dụng bổ đề sau: "Cho hình lăng trụ có cạnh bên bằng l, một mặt phẳng vuông góc với mặt bên cắt lăng trụ theo một thiết diện S. Khi đó thể tích lăng trụ $V=lS$ ".
A. 18,4.
B. 11,3.
C. 25,2.
D. 14,6.
Dựng CH, CI, CK lần lượt vuông góc với $B{B}',A{A}',D{D}'$, ta có $CH=\dfrac{2\sqrt{5}}{3},CK=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$.
Đặt $A{A}'=x,\measuredangle HCK=\alpha $, ta có $4={{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'}}=A{A}'.{{S}_{CHIK}}=\dfrac{4x\sqrt{10}}{9}.\sin \alpha \Leftrightarrow x=\dfrac{9}{\sqrt{10}\sin \alpha }$.
Mặt khác $\Delta {A}'CA$ vuông tại C nên $S=\left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right)$
Tứ giác CHIK là hình bình hành $\Rightarrow C{{I}^{2}}=C{{H}^{2}}+C{{K}^{2}}+2CH\cdot CK\cdot \cos \alpha =\dfrac{28+8\sqrt{10}\cos \alpha }{9}$
Khi đó
$\dfrac{4\left( 81-40{{\sin }^{2}}\alpha \right)}{81}=\dfrac{28+8\sqrt{10}\cos \alpha }{9}\Leftrightarrow 40{{\cos }^{2}}\alpha -18\sqrt{10}\cos \alpha -22=0\Leftrightarrow \cos \alpha =-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\Rightarrow x=3$.
Vậy ${{S}_{xq}}=2\left( {{S}_{AB{B}'{A}'}}+{{S}_{AD{D}'{A}'}} \right)=2A{A}'\left( CH+CK \right)=4\left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right)$.
Chú ý bài toán có sử dụng bổ đề sau: "Cho hình lăng trụ có cạnh bên bằng l, một mặt phẳng vuông góc với mặt bên cắt lăng trụ theo một thiết diện S. Khi đó thể tích lăng trụ $V=lS$ ".
Đáp án D.