Google
Câu hỏi: Cho hình hộp ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD$ có hai đường thẳng ${{A}_{1}}C$ và AB cách nhau một khoảng bằng 2. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh ${{A}_{1}}C$ và AB, đồng thời $2AE+3{{A}_{1}}F=6$. Thể tích lớn nhất của khối hộp ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD$ là
A. ${{V}_{\max }}=12.$
B. ${{V}_{\max }}=8\sqrt{3}.$
C. ${{V}_{\max }}=\dfrac{32}{3}.$
D. ${{V}_{\max }}=9\sqrt{2}.$
Ta có ${{V}_{{{A}_{1}}AEF}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{{{A}_{1}}AEC}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.{{V}_{{{A}_{1}}.ABCD}}\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.{{V}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD}}\Rightarrow {{V}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD}}=24{{V}_{{{A}_{1}}AEF}}.$
Dựng điểm Q sao cho AEFQ là hình bình hành thì
$d\left( E;\left( {{A}_{1}}FQ \right) \right)=d\left( AE;{{A}_{1}}F \right)=d\left( AB;{{A}_{1}}C \right)=2$
Đặt $x=AE;y={{A}_{1}}F$ và $\varphi =\left( \widehat{AE;{{A}_{1}}F} \right)=\widehat{QF{{A}_{1}}}.$
Ta có $6=2x+3y\overset{\text{C }\!\!\ll\!\!\text{ si}}{\mathop{\ge }} 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\le \dfrac{3}{2}.$
Ngoài ra ${{V}_{{{A}_{1}}.AEFQ}}=2{{V}_{A.{{A}_{1}}FQ}}=2.\dfrac{1}{3}d\left( E;\left( {{A}_{1}}FQ \right) \right).{{S}_{{{A}_{1}}FQ}}=\dfrac{2}{3}.2.\dfrac{1}{2}x.y.\sin \varphi \le \dfrac{2xy}{3}\le \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}=1$
Suy ra ${{V}_{{{A}_{1}}.AEFQ}}={{V}_{A.{{A}_{1}}FQ}}\le \dfrac{1}{2}$
Do đó ${{V}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD}}=24{{V}_{{{A}_{1}}AEF}}\le 24.\dfrac{1}{2}=12.$
Vậy $\max \left( {{V}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD}} \right)=12.$
A. ${{V}_{\max }}=12.$
B. ${{V}_{\max }}=8\sqrt{3}.$
C. ${{V}_{\max }}=\dfrac{32}{3}.$
D. ${{V}_{\max }}=9\sqrt{2}.$
Dựng điểm Q sao cho AEFQ là hình bình hành thì
$d\left( E;\left( {{A}_{1}}FQ \right) \right)=d\left( AE;{{A}_{1}}F \right)=d\left( AB;{{A}_{1}}C \right)=2$
Đặt $x=AE;y={{A}_{1}}F$ và $\varphi =\left( \widehat{AE;{{A}_{1}}F} \right)=\widehat{QF{{A}_{1}}}.$
Ta có $6=2x+3y\overset{\text{C }\!\!\ll\!\!\text{ si}}{\mathop{\ge }} 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\le \dfrac{3}{2}.$
Ngoài ra ${{V}_{{{A}_{1}}.AEFQ}}=2{{V}_{A.{{A}_{1}}FQ}}=2.\dfrac{1}{3}d\left( E;\left( {{A}_{1}}FQ \right) \right).{{S}_{{{A}_{1}}FQ}}=\dfrac{2}{3}.2.\dfrac{1}{2}x.y.\sin \varphi \le \dfrac{2xy}{3}\le \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}=1$
Suy ra ${{V}_{{{A}_{1}}.AEFQ}}={{V}_{A.{{A}_{1}}FQ}}\le \dfrac{1}{2}$
Do đó ${{V}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD}}=24{{V}_{{{A}_{1}}AEF}}\le 24.\dfrac{1}{2}=12.$
Vậy $\max \left( {{V}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}.ABCD}} \right)=12.$
Đáp án A.