Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có $SA\bot \left( ABCD \right)$, $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ biết $AB=2a~$, $AD=3BC=3a$.Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$ biết góc giữa $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng ${{60}^{0}}$.
A. $6\sqrt{6}{{a}^{3}}$
B. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$
C. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
Hạ $AI\bot CD$, $CK\bot AD$.
Khi đó: $\left( \widehat{(SC\text{D}),(ABC\text{D})} \right)=\widehat{SIA}={{60}^{0}}$
và $AC=AK=a,~$ $CK=AB=KD=2a$
Vì tam giác $CKD$ là tam giác vuông tại $K~$ nên
$\widehat{KDC}={{45}^{0}}$ $\Rightarrow \Delta ADI$ vuông cân tại $I$
$\Rightarrow AI=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}$
Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$,ta có:
$\tan \widehat{SIA}=\dfrac{SA}{AI}\Leftrightarrow SA=\dfrac{3\text{a}}{\sqrt{2}}.\sqrt{3}=\dfrac{3\text{a}\sqrt{6}}{2}$
Ta lại có: ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AB.(AD+BC)}{2}=4{{a}^{2}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}.4{{a}^{2}}=2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
A. $6\sqrt{6}{{a}^{3}}$
B. $2\sqrt{6}{{a}^{3}}$
C. $6\sqrt{3}{{a}^{3}}$
D. $2\sqrt{3}{{a}^{3}}$
Hạ $AI\bot CD$, $CK\bot AD$.
Khi đó: $\left( \widehat{(SC\text{D}),(ABC\text{D})} \right)=\widehat{SIA}={{60}^{0}}$
và $AC=AK=a,~$ $CK=AB=KD=2a$
Vì tam giác $CKD$ là tam giác vuông tại $K~$ nên
$\widehat{KDC}={{45}^{0}}$ $\Rightarrow \Delta ADI$ vuông cân tại $I$
$\Rightarrow AI=\dfrac{AD}{\sqrt{2}}=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}$
Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$,ta có:
$\tan \widehat{SIA}=\dfrac{SA}{AI}\Leftrightarrow SA=\dfrac{3\text{a}}{\sqrt{2}}.\sqrt{3}=\dfrac{3\text{a}\sqrt{6}}{2}$
Ta lại có: ${{S}_{ABCD}}=\dfrac{AB.(AD+BC)}{2}=4{{a}^{2}}$.
Suy ra ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3a\sqrt{6}}{2}.4{{a}^{2}}=2\sqrt{6}{{a}^{3}}$.
Đáp án B.