Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a \sqrt{2}$. Tam giác $S A D$ cân tại $S$ và mặt bên $(S A D)$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng $\dfrac{4}{3} a^3$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(S C D)$.
A. $h=\dfrac{8}{3} a$.
B. $h=\dfrac{3}{4} a$.
C. $h=\dfrac{2}{3} a$.
D. $h=\dfrac{4}{3} a$.
Ta có chiều cao của khối chóp $S . A B C D$ là $S I$ với $I$ là trung điểm của $A D$.
Suy ra thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng $\dfrac{4}{3} a^3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} 2 a^2 . S I=\dfrac{4}{3} a^3 \Leftrightarrow S I=2 a$.
Xét tam giác $S C D$ vuông tại $D$ có:
$S D=\sqrt{S I^2+I D^2}=\dfrac{3 a \sqrt{2}}{2}$ nên $S_{\triangle S C D}=\dfrac{1}{2} S D \cdot C D=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3 a \sqrt{2}}{2} \cdot a \sqrt{2}=\dfrac{3 a^2}{2}$.
Thấy ngay $V_{S . A B C D}=2 V_{S . B C D}=2 V_{B . S C D} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} a^3=2 \cdot \dfrac{1}{3} S_{\triangle S C D} \cdot h \Leftrightarrow h=\dfrac{4}{3} a$.
A. $h=\dfrac{8}{3} a$.
B. $h=\dfrac{3}{4} a$.
C. $h=\dfrac{2}{3} a$.
D. $h=\dfrac{4}{3} a$.
Suy ra thể tích của khối chóp $S . A B C D$ bằng $\dfrac{4}{3} a^3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} 2 a^2 . S I=\dfrac{4}{3} a^3 \Leftrightarrow S I=2 a$.
Xét tam giác $S C D$ vuông tại $D$ có:
$S D=\sqrt{S I^2+I D^2}=\dfrac{3 a \sqrt{2}}{2}$ nên $S_{\triangle S C D}=\dfrac{1}{2} S D \cdot C D=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3 a \sqrt{2}}{2} \cdot a \sqrt{2}=\dfrac{3 a^2}{2}$.
Thấy ngay $V_{S . A B C D}=2 V_{S . B C D}=2 V_{B . S C D} \Leftrightarrow \dfrac{4}{3} a^3=2 \cdot \dfrac{1}{3} S_{\triangle S C D} \cdot h \Leftrightarrow h=\dfrac{4}{3} a$.
Đáp án D.