Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng $\left( SCD \right)$, cắt đường thẳng SD tại E. Gọi $V$ và ${{V}_{1}}$ lần lượt là thể tích khối chóp S.ABCD và D.ACE, biết $V=5{{V}_{1}}$. Tính sin của góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD.
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
D. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Gọi O là tâm hình vuông ABCD $\Rightarrow $ tứ diện OSCD có OS, OC, OD đôi một vuông góc.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng $\left( SCD \right)\Rightarrow H$ là trực tâm ΔSCD
Nối C với H cắt SD tại một điểm, điểm đó là E và $\left( P \right)=\left( ACE \right)$
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{5}V\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{2}{5}{{V}_{S.ACD}}=\dfrac{2}{5}{{V}_{\text{D}\text{.ACS}}}\Rightarrow DE=\dfrac{2}{5}DS\Rightarrow SE=\dfrac{3}{5}DS$.
Đặt: $SD=5a,\left( a>0 \right)$ suy ra $DE=2a,SE=3a$.
Vì $\text{AC}\bot \left( SBD \right)\Rightarrow SD\bot AC$ và $SD\bot CE$ nên $SD\bot \left( ACE \right)$.
Gọi I là giao điểm của SH với CD $\Rightarrow SI\bot CD, OI\bot CD$ và I là trung điểm của CD.
Gọi $\varphi $ là góc giữa $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)\Rightarrow \varphi =\widehat{SIO}$
Trong tam giác SOD vuông tại O, OE là đường cao
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& O{{D}^{2}}=ED.SD=10{{a}^{2}} \\
& S{{O}^{2}}=SE.SD=15{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OD=a\sqrt{10} \\
& SO=a\sqrt{15} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD=2a\sqrt{5}$.
Do đó $OI=\dfrac{1}{2}CD=a\sqrt{5}$ và $SI=2a\sqrt{5}\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{OI}{SI}=\dfrac{1}{2}$.
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
D. $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng $\left( SCD \right)\Rightarrow H$ là trực tâm ΔSCD
Nối C với H cắt SD tại một điểm, điểm đó là E và $\left( P \right)=\left( ACE \right)$
${{V}_{1}}=\dfrac{1}{5}V\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{2}{5}{{V}_{S.ACD}}=\dfrac{2}{5}{{V}_{\text{D}\text{.ACS}}}\Rightarrow DE=\dfrac{2}{5}DS\Rightarrow SE=\dfrac{3}{5}DS$.
Đặt: $SD=5a,\left( a>0 \right)$ suy ra $DE=2a,SE=3a$.
Vì $\text{AC}\bot \left( SBD \right)\Rightarrow SD\bot AC$ và $SD\bot CE$ nên $SD\bot \left( ACE \right)$.
Gọi I là giao điểm của SH với CD $\Rightarrow SI\bot CD, OI\bot CD$ và I là trung điểm của CD.
Gọi $\varphi $ là góc giữa $\left( SCD \right)$ và $\left( ABCD \right)\Rightarrow \varphi =\widehat{SIO}$
Trong tam giác SOD vuông tại O, OE là đường cao
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& O{{D}^{2}}=ED.SD=10{{a}^{2}} \\
& S{{O}^{2}}=SE.SD=15{{a}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OD=a\sqrt{10} \\
& SO=a\sqrt{15} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD=2a\sqrt{5}$.
Do đó $OI=\dfrac{1}{2}CD=a\sqrt{5}$ và $SI=2a\sqrt{5}\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{OI}{SI}=\dfrac{1}{2}$.
Đáp án B.