Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $SD$, tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $\dfrac{1}{3}.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left( ABCD \right)$ và $O=AC\cap BD$. Ta có $MH$ song song với $SO$ và $MH=\dfrac{1}{2}SO.$ $BM$ có hình chiếu vuông góc trên $\left( ABCD \right)$ là $BH$ do đó góc giữa $BM$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{MBH}.$
Ta có $SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}$
$=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MH=\dfrac{a\sqrt{2}}{4};BH=\dfrac{3}{4}BD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.$
Trong tam giác $MBH$ vuông tại $H$ nên có: $\tan \widehat{MBH}=\dfrac{MH}{BH}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{1}{3}.$
A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
C. $\dfrac{2}{3}.$
D. $\dfrac{1}{3}.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\left( ABCD \right)$ và $O=AC\cap BD$. Ta có $MH$ song song với $SO$ và $MH=\dfrac{1}{2}SO.$ $BM$ có hình chiếu vuông góc trên $\left( ABCD \right)$ là $BH$ do đó góc giữa $BM$ và $\left( ABCD \right)$ là $\widehat{MBH}.$
Ta có $SO=\sqrt{S{{D}^{2}}-O{{D}^{2}}}$
$=\sqrt{{{a}^{2}}-\dfrac{2{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow MH=\dfrac{a\sqrt{2}}{4};BH=\dfrac{3}{4}BD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}.$
Trong tam giác $MBH$ vuông tại $H$ nên có: $\tan \widehat{MBH}=\dfrac{MH}{BH}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{4}}{\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}}=\dfrac{1}{3}.$
Đáp án D.