Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $SA=\sqrt{11}a$, cosin của góc hợp bởi hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ bằng $\dfrac{1}{10}$. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng
A. $3{{a}^{3}}$.
B. $9{{a}^{3}}$.
C. $4{{a}^{3}}$.
D. $12{{a}^{3}}$.
Kẻ $BE\bot SC\left( E\in SC \right)$
$\Rightarrow DE\bot SC$ (do $\Delta SBC=\Delta SCD$ )
$\Rightarrow SC\bot \left( BDE \right)\Rightarrow \widehat{\left( SBC \right);\left( SCD \right)}=\widehat{BED}$
Đặt $AB=2x$. Gọi H là trung điểm BC
Suy ra $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{11{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Ta có ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}SH.BC=x\sqrt{11{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Suy ra $BE=\dfrac{2x.\sqrt{11{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{11}a}$
Tam giác BDE cân tại E, có $\cos \widehat{BED}=-\dfrac{1}{10}$ suy ra
$B{{D}^{2}}=B{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}-2BE.DE.\cos \widehat{BED}\Leftrightarrow 5B{{D}^{2}}=11B{{E}^{2}}$
Do đó $x=a\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}$ và $SO=3a\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=4{{a}^{3}}$
Định lý Pytago:
A. $3{{a}^{3}}$.
B. $9{{a}^{3}}$.
C. $4{{a}^{3}}$.
D. $12{{a}^{3}}$.
Kẻ $BE\bot SC\left( E\in SC \right)$
$\Rightarrow DE\bot SC$ (do $\Delta SBC=\Delta SCD$ )
$\Rightarrow SC\bot \left( BDE \right)\Rightarrow \widehat{\left( SBC \right);\left( SCD \right)}=\widehat{BED}$
Đặt $AB=2x$. Gọi H là trung điểm BC
Suy ra $SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{11{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Ta có ${{S}_{\Delta SBC}}=\dfrac{1}{2}SH.BC=x\sqrt{11{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Suy ra $BE=\dfrac{2x.\sqrt{11{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{\sqrt{11}a}$
Tam giác BDE cân tại E, có $\cos \widehat{BED}=-\dfrac{1}{10}$ suy ra
$B{{D}^{2}}=B{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}-2BE.DE.\cos \widehat{BED}\Leftrightarrow 5B{{D}^{2}}=11B{{E}^{2}}$
Do đó $x=a\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=A{{B}^{2}}=4{{a}^{2}}$ và $SO=3a\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=4{{a}^{3}}$
Note 17: Phương pháp chung
Định lí Cô-sin trong tam giác: tam giác có 3 cạnh a, b, c và $\alpha $ là góc đối diện cạnh a${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc\cos \alpha $
Góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.Định lý Pytago:
$\Delta ABC$ vuông tại A có $AB=c$ ; $BC=a$ ; $CA=b$ thì ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}$
Đáp án C.