Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cố cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a\sqrt{3}$. Gọi ${{V}_{1,}}{{V}_{2}}$ lần lượt là thể tích khối cầu và khối nón ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$. Tỉ số $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$ bằng
A. $\dfrac{108}{25}$
B. $\dfrac{324}{25}$
C. $\dfrac{54}{25}$
D. $\dfrac{36}{25}$
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD thì SH là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Ta có $AC=a\sqrt{2}$ và $AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ nên $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
Khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho có bán kính đáy $HA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao $SH=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$ nên có thể tích ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}\pi {{a}^{3}}}{12}$
Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt cạnh SA tại E và đường thẳng SH tại F. Khi đó F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Ta có: $SE.SA=SF.SH$ nên $SF=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{3\sqrt{10}a}{10}$
Do đó khối cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho có bán kính bằng $\dfrac{3\sqrt{10}a}{10}$ nên có thể tích ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{3\sqrt{10}a}{10} \right)}^{3}}=\dfrac{9\sqrt{10}\pi {{a}^{3}}}{25}$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{108}{25}$
A. $\dfrac{108}{25}$
B. $\dfrac{324}{25}$
C. $\dfrac{54}{25}$
D. $\dfrac{36}{25}$
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD thì SH là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Ta có $AC=a\sqrt{2}$ và $AH=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ nên $SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$
Khối nón ngoại tiếp hình chóp đã cho có bán kính đáy $HA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao $SH=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$ nên có thể tích ${{V}_{2}}=\dfrac{1}{3}\pi {{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{10}}{2}=\dfrac{\sqrt{10}\pi {{a}^{3}}}{12}$
Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt cạnh SA tại E và đường thẳng SH tại F. Khi đó F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Ta có: $SE.SA=SF.SH$ nên $SF=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{3\sqrt{10}a}{10}$
Do đó khối cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho có bán kính bằng $\dfrac{3\sqrt{10}a}{10}$ nên có thể tích ${{V}_{1}}=\dfrac{4}{3}\pi {{\left( \dfrac{3\sqrt{10}a}{10} \right)}^{3}}=\dfrac{9\sqrt{10}\pi {{a}^{3}}}{25}$. Vậy $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{108}{25}$
Đáp án A.