Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S. ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, tâm $O$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Biết rằng góc giữa $MN$ và $\left(ABCD \right)$ bằng $60{}^\circ $, cô\sin của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $\left(SBD \right)$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{41}}{41}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{41}}{41}$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Đặt $SO=m , \left( m>0 \right)$.
$A\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;0 \right); S\left( 0;0;m \right); N\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{4}; \dfrac{a\sqrt{2}}{4};0 \right)$ $\Rightarrow M\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{4}; 0; \dfrac{m}{2} \right)$. $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a\sqrt{2}}{4};-\dfrac{m}{2} \right)$. Mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$.
$\Rightarrow \sin \left( MN, \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\dfrac{m}{2}}{\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{15{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{3{{m}^{2}}}{4}$.
$\Rightarrow 2{{m}^{2}}=15{{a}^{2}}\Rightarrow m=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a\sqrt{2}}{4};-\dfrac{a\sqrt{30}}{4} \right)$, mặt phẳng $\left( SBD \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.
$\Rightarrow \sin \left( MN, \left( SBD \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{30{{a}^{2}}}{16}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow c\text{os}\left( MN, \left( SBD \right) \right)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
A. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
B. $\dfrac{\sqrt{41}}{41}$.
C. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
D. $\dfrac{2\sqrt{41}}{41}$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ. Đặt $SO=m , \left( m>0 \right)$.
$A\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2};0;0 \right); S\left( 0;0;m \right); N\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{4}; \dfrac{a\sqrt{2}}{4};0 \right)$ $\Rightarrow M\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{4}; 0; \dfrac{m}{2} \right)$. $\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a\sqrt{2}}{4};-\dfrac{m}{2} \right)$. Mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right)$.
$\Rightarrow \sin \left( MN, \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{k} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|\left| \overrightarrow{k} \right|}=\dfrac{\dfrac{m}{2}}{\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{{{m}^{2}}}{4}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=\dfrac{15{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{3{{m}^{2}}}{4}$.
$\Rightarrow 2{{m}^{2}}=15{{a}^{2}}\Rightarrow m=\dfrac{a\sqrt{30}}{2}$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left( -\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\dfrac{a\sqrt{2}}{4};-\dfrac{a\sqrt{30}}{4} \right)$, mặt phẳng $\left( SBD \right)$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right)$.
$\Rightarrow \sin \left( MN, \left( SBD \right) \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{i} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|\left| \overrightarrow{i} \right|}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{2}+\dfrac{{{a}^{2}}}{8}+\dfrac{30{{a}^{2}}}{16}}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow c\text{os}\left( MN, \left( SBD \right) \right)=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án C.