Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60{}^\circ $. Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SBC \right)$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $a\sqrt{3}$.
D. $2a\sqrt{3}$.
Gọi $O $ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $I$ là trung điểm của $BC$.
Ta có $ S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ SO\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SO \left( SO\bot \left( ABCD \right) \right) \\
& BC\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow BC\bot SI$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& \left( ABCD \right): OI\bot BC \\
& \left( SBC \right): SI\bot BC \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra góc giữa $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng góc giữa $SI$ và $IO$ hay $\widehat{SIO}={{60}^{{}^\circ }}$
Xét $\Delta SOI$ có $SO=OI.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot BC \left( BC\bot \left( SOI \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left[ O; \left( SBC \right) \right]=OH=\dfrac{SO.OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $\dfrac{d\left( A; \left( SBC \right) \right)}{d\left( O; \left( SBC \right) \right)}=\dfrac{CA}{CO}=2\Rightarrow d\left( A; \left( SBC \right) \right)=2\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
C. $a\sqrt{3}$.
D. $2a\sqrt{3}$.
Ta có $ S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ SO\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SO \left( SO\bot \left( ABCD \right) \right) \\
& BC\bot OI \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SOI \right)\Rightarrow BC\bot SI$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& \left( ABCD \right): OI\bot BC \\
& \left( SBC \right): SI\bot BC \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra góc giữa $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ bằng góc giữa $SI$ và $IO$ hay $\widehat{SIO}={{60}^{{}^\circ }}$
Xét $\Delta SOI$ có $SO=OI.\tan 60{}^\circ =\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$. Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot BC \left( BC\bot \left( SOI \right) \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SBC \right)$
$\Rightarrow d\left[ O; \left( SBC \right) \right]=OH=\dfrac{SO.OI}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{I}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Ta có $\dfrac{d\left( A; \left( SBC \right) \right)}{d\left( O; \left( SBC \right) \right)}=\dfrac{CA}{CO}=2\Rightarrow d\left( A; \left( SBC \right) \right)=2\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án A.