Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng $3\sqrt{2}$, góc giữa cạnh bên với mặt đáy bằng $\alpha $. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
A. $\dfrac{108\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
B. $\dfrac{9\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
C. $\dfrac{36\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
D. $\dfrac{54\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD thì SH là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Ta có $\left( \widehat{SA,\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,AC} \right)=\widehat{SAH}$ nên $\widehat{SAH}=\alpha $
Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt SA, SH lần lượt tại E và F. Khi đó F là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có $HA=\dfrac{1}{2}AC=3$ và $SH=HA\tan SAH=3\tan \alpha ;SA=\dfrac{HA}{\cos SAH}=\dfrac{3}{\cos \alpha }.$
Lại có $SE.SA=SF.SH$ nên $SF=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{9}{6{{\cos }^{2}}\alpha \tan \alpha }=\dfrac{3}{\sin 2\alpha }$
Do vậy, thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là $V=\dfrac{4}{3}\pi S{{F}^{3}}=\dfrac{36\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }$
A. $\dfrac{108\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
B. $\dfrac{9\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
C. $\dfrac{36\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
D. $\dfrac{54\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }.$
Gọi H là tâm của hình vuông ABCD thì SH là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.
Ta có $\left( \widehat{SA,\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SA,AC} \right)=\widehat{SAH}$ nên $\widehat{SAH}=\alpha $
Mặt phẳng trung trực của cạnh SA cắt SA, SH lần lượt tại E và F. Khi đó F là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Ta có $HA=\dfrac{1}{2}AC=3$ và $SH=HA\tan SAH=3\tan \alpha ;SA=\dfrac{HA}{\cos SAH}=\dfrac{3}{\cos \alpha }.$
Lại có $SE.SA=SF.SH$ nên $SF=\dfrac{S{{A}^{2}}}{2SH}=\dfrac{9}{6{{\cos }^{2}}\alpha \tan \alpha }=\dfrac{3}{\sin 2\alpha }$
Do vậy, thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho là $V=\dfrac{4}{3}\pi S{{F}^{3}}=\dfrac{36\pi }{{{\sin }^{3}}2\alpha }$
Đáp án C.