Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$. Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc $60{}^\circ $. Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $AB$ và đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $SAC$ cắt $SC$, $SD$ lần lượt tại $M$ và $N$. Thể tích khối chóp $S.ABMN$ là
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $CD$ và $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Ta có $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau
Giả sử $\left( \widehat{\left( SCD \right), \left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SHO}=60{}^\circ $
Tam giác $SHO$ vuông tại $O$ có $SO=OH.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\cap \left( SCD \right)=MN \\
& AB\subset \left( P \right),MN\subset \left( SCD \right) \\
& AB \text{//} CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN \text{//} CD \text{//} AB$
Mà $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $G$ cũng là trọng tâm tam giác $SBD$ $\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{2}$.
Ta lại có $\dfrac{{{V}_{SABM}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SM}{SC}\Rightarrow {{V}_{SABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SABCD}}$
$\dfrac{{{V}_{SAMN}}}{{{V}_{SACD}}}=\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SD}\Rightarrow {{V}_{SAMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SACD}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{SABCD}}$
Khi đó ${{V}_{SABMN}}=\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} \right){{V}_{SABCD}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. ${{a}^{3}}\sqrt{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm cạnh $CD$ và $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Ta có $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau
Giả sử $\left( \widehat{\left( SCD \right), \left( ABCD \right)} \right)=\widehat{SHO}=60{}^\circ $
Tam giác $SHO$ vuông tại $O$ có $SO=OH.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}$.
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.{{S}_{ABCD}}.SO=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Mặt khác: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( P \right)\cap \left( SCD \right)=MN \\
& AB\subset \left( P \right),MN\subset \left( SCD \right) \\
& AB \text{//} CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow MN \text{//} CD \text{//} AB$
Mà $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$ nên $G$ cũng là trọng tâm tam giác $SBD$ $\Rightarrow \dfrac{SM}{SC}=\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{1}{2}$.
Ta lại có $\dfrac{{{V}_{SABM}}}{{{V}_{SABC}}}=\dfrac{SM}{SC}\Rightarrow {{V}_{SABM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{SABC}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SABCD}}$
$\dfrac{{{V}_{SAMN}}}{{{V}_{SACD}}}=\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SD}\Rightarrow {{V}_{SAMN}}=\dfrac{1}{4}{{V}_{SACD}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{SABCD}}$
Khi đó ${{V}_{SABMN}}=\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} \right){{V}_{SABCD}}=\dfrac{3}{8}{{V}_{SABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$.
---------- HẾT ----------
Đáp án A.