Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a,O$ là trung điểm $AC$ và $SO=b.$ Gọi $\left( \Delta \right)$ là đường thẳng đi qua $C,\left( \Delta \right)$ nằm trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và khoảng cách từ $O$ đến $\left( \Delta \right)$ là $\dfrac{a\sqrt{14}}{6}.$ Giá trị lượng giác $\cos \left( SA \right),\left( \Delta \right)$ bằng
A. $\dfrac{2a}{3\sqrt{4{{b}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$
B. $\dfrac{2a}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}.$
C. $\dfrac{a}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}.$
D. $\dfrac{a}{3\sqrt{4{{b}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$
Gọi $\left( {{\Delta }'} \right)$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $\left( \Delta \right)$. Hạ $OH\bot \left( {{\Delta }'} \right)$ tại $H$.
Do $O$ là trung điểm của $AC$ và $\left( \Delta \right)//\left( {{\Delta }'} \right)$ nên $d\left( O,\left( {{\Delta }'} \right) \right)=d\left( O,\left( \Delta \right) \right)$ hay $OH=\dfrac{a\sqrt{14}}{6}.$
Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đáy $ABCD$ là hình vuông và $SO\bot \left( ABCD \right).$
Do $AH\bot OH$ và $AH\bot SO$ nên, suy ra $AH\bot SH.$
Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$, suy ra $OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông $AHO$ ta có $O{{A}^{2}}=O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}$
$\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{14}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{3}.$
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông $SAO$ ta có $S{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}$
$\Rightarrow SA=\sqrt{O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}{2}.$
Do $\left( \Delta \right)//\left( {{\Delta }'} \right)$ nên $\cos \left( \widehat{\left( SA \right),\left( \Delta \right)} \right)=\cos \left( \widehat{\left( SA \right),\left( {{\Delta }'} \right)} \right)=\cos \widehat{SAH}=\dfrac{AH}{SA}=\dfrac{2a}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}$
A. $\dfrac{2a}{3\sqrt{4{{b}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$
B. $\dfrac{2a}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}.$
C. $\dfrac{a}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}.$
D. $\dfrac{a}{3\sqrt{4{{b}^{2}}-2{{a}^{2}}}}.$
Do $O$ là trung điểm của $AC$ và $\left( \Delta \right)//\left( {{\Delta }'} \right)$ nên $d\left( O,\left( {{\Delta }'} \right) \right)=d\left( O,\left( \Delta \right) \right)$ hay $OH=\dfrac{a\sqrt{14}}{6}.$
Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đáy $ABCD$ là hình vuông và $SO\bot \left( ABCD \right).$
Do $AH\bot OH$ và $AH\bot SO$ nên, suy ra $AH\bot SH.$
Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$, suy ra $OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông $AHO$ ta có $O{{A}^{2}}=O{{H}^{2}}+A{{H}^{2}}$
$\Rightarrow AH=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{14}}{6} \right)}^{2}}}=\dfrac{a}{3}.$
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông $SAO$ ta có $S{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}$
$\Rightarrow SA=\sqrt{O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}=\dfrac{\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}{2}.$
Do $\left( \Delta \right)//\left( {{\Delta }'} \right)$ nên $\cos \left( \widehat{\left( SA \right),\left( \Delta \right)} \right)=\cos \left( \widehat{\left( SA \right),\left( {{\Delta }'} \right)} \right)=\cos \widehat{SAH}=\dfrac{AH}{SA}=\dfrac{2a}{3\sqrt{2{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}}$
Đáp án B.